计数初步

Outline

• 计数原理
• 组合数/二项式系数
• 错位排列
• 卡特兰数/卡塔兰数
• 斯特林数/斯特灵数
• 三元环计数

加法原理

乘法原理

定义

计算

小♂试牛刀

• ${\sum }_{i=1}^n{X}_i=m,(X_i>0)$的方案数。

  （把m个相同小球放在n个不同盒子，盒子不能为空的方案数）

• ${\sum }_{i=1}^n{X}_i=m,(X_i>=0)$的方案数。

  （把m个相同小球放在n个不同盒子，盒子可以为空的方案数）

• ${\sum }_{i=1}^n{X}_i=m,(X_i>=k)$的方案数。

  （通过给所有盒子钦定都先有k个小球，然后转化为问题2）

• 有m种颜色，第i种颜色恰好用$X_i$次$({\sum }_{i=1}^m{X}_i=n)$，用这些颜色给一个长度为n的序列上色的方案数。

  • $ans=C_n^{x_1}{C}_{n-x_1}^{x_2}{C}_{n-x_1-x_2}^{x_3}\dots C_{n-x_1-x_2...-x_{m-1}}^{x_m}$
  • $ans=\frac{n!}{{\Pi }_{i=1}^m{x}_i!}$

• $n\times m$的棋盘，每次都只能向上或者向右，$(1,1)$->$(n,m)$的方案数。

  （总共走了n+m-2步，把向上走的n-1步任意穿插在里面，$ans=C_{n+m-2}^{n-1}$）

• $n\times m$的棋盘，有两个棋子分别位于(1,2),(2,1)，这两个棋子同时移动，每次只能向上或者向右，(1,2)->(n-1,m),(2,1)->(n,m-1)，同时两个棋子的路径交集为空的方案数。

  （考虑容斥，先求出两个点到终点任意走的方案数为ans1和ans2，减去不合法的方案数。画一下图，发现两条路径交叉，可以看做从(1,2)->(n,m-1),(2,1)->(n-1,m)。求出分别方案数ans3,和ans4。$ans=ans1\ast ans2-ans3\ast ans4$）

圆排列

例1 组合数前缀和

Solution

Lucas定理

例题2 [SHOI2015]超能粒子炮

• 点我跳转

例题3 [SDOI2010古代猪文]

• 点我跳转

错位排列

例题4 [BZOJ4563]

• 模板题直接求$D(n)$就是答案，不过给你了个恶心的高精度。不写了。

例题5 [SDOI2016]

• 这题比较良心，有取模。注意的是需要乘上一个组合数，所以先$O(n)$处理阶乘和阶乘的逆元。

卡特兰数

例题5 [BZOJ2822]树屋阶梯

• 毒瘤高精度请注意！

第一类斯特林数

例题6 [Loj2173]建筑师

• 不错的题，算是第一类斯特林数模板题，不过有取模qwq。

第二类斯特林数

三元环计数

• 统计每个点的度数
• 入度<=$\sqrt{m}$的分为第一类，入度>$\sqrt{m}$的分为第二类
• 对于第一类，暴力每个点，然后暴力这个点的任意两条边，再判断这两条边的另一个端点是否连接
  因为m条边最多每条边遍历一次，然后暴力的点的入度<=$\sqrt{m}$，所以复杂度约为$O(m\sqrt{m})$
• 对于第二类，直接暴力任意三个点，判断这三个点是否构成环，因为这一类点的个数不会超过$\sqrt{m}$个，所以复杂度约为$O({\sqrt{m}}^3)=O(m\sqrt{m})$
• 判断两个点是否连接用map就可以，根据具体情况而行
• 对于第一类我们需要为了去一下重，可以每做完一个点，给他打上一个标记。下次对其他点计数时，如果含有被打过标记的点，不参与计数。

完结撒花！