数学建模常用模型10 ：数据包络（DEA）分析法（投入产出法）

数据包络分析是评价多输入指标和多输出指标的较为有效的方法，将投入与产出进行比较。它的结果包含的意思有：

①θ=1，DEA有效，表示投入与产出比达到最优

②θ<1，非DEA有效，表示投入与产出比没有达到最优，一般来说，θ越大说明效果越好。

数据包络分析是通过对投入的指标和产出的指标做了一个线性规划，并且进行变换后，然后根据其线性规划的对偶问题（线性规划对偶问题具有经济学意义），求解这个对偶问题的最值就是θ。

数据包络分析(data envelopment analysis,DEA)是一个对多投入\多产出的多个决策单元的效率评价方法。是1978年由CHARNES和COOPER创建的。可广泛使用于业绩评价。

DEA特别适用于具有多输入多输出的复杂系统，这主要体现在以下几点：

1. DEA以决策单位各输入/输出的权重为变量，从最有利于决策单元的角度进行评价，从而避免了确定各指标在优先意义下的权重；
2. 假定每个输入都关联到一个或者多个输出，而且输入/输出之间确实存在某种关系，使用DEA方法则不必确定这种关系的显示表达式。

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例 利用DEA方法对天津市的可持续发展进行评价。在这里选取较具代表性的指标作为输入变量和输出变量，见表1。

表1 各决策单元输入、输出指标值

序号	决策 单元	政府财政收入占 GDP的比例/%	环保投资占GDP 的比例/%	每千人科技 人员数/人	人均GDP /元	城市环境 质量指数
1	1990	14.40	0.65	31.30	3621.00	0.00
2	1991	16.90	0.72	32.20	3943.00	0.09
3	1992	15.53	0.72	31.87	4086.67	0.07
4	1993	15.40	0.76	32.23	4904.67	0.13
5	1994	14.17	0.76	32.40	6311.67	0.37
6	1995	13.33	0.69	30.77	8173.33	0.59
7	1996	12.83	0.61	29.23	10236.00	0.51
8	1997	13.00	0.63	28.20	12094.33	0.44
9	1998	13.40	0.75	28.80	13603.33	0.58
10	1999	14.00	0.84	29.10	14841.00	1.00

输入变量：政府财政收入占GDP的比例、环保投资占GDP的比例、每千人科技人员数。输出变量：经济发展（用人均GDP表示）、环境发展（用城市环境质量指数表示；计算过程中，城市环境指数的数值作了归一化处理）。

MATLAB程序为：

clc,clear

format long

load('data.txt');%把原始数据保存在纯文本文件data.txt中

X=data(:,[1:3]);%X为输入变量，3为输入变量的个数

X=X';

Y=data(:,[4:5]);%Y为输出变量，5（3+2），2为输出变量的个数

Y=Y';           

n=size(X',1);m=size(X,1);s=size(Y,1);

A=[-X' Y'];

b=zeros(n,1);

LB=zeros(m+s,1);UB=[];

for i=1:n;

  f=[zeros(1,m)  -Y(:,i)'];

  Aeq=[X(:,i)',zeros(1,s)];beq=1;

  w(:,i)=linprog(f,A,b,Aeq,beq,LB,UB);

    E(i,i)=Y(:,i)'*w(m+1:m+s,i);

end

theta=diag(E)';

fprintf('用DEA方法对此的相对评价结果为：\n');

disp(theta);

omega=w(1:m,:)

mu=w(m+1:m+s,:)

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补充：

定义1 若线性规划问题的最优目标值theta=1，则称决策单元是弱DEA有效地。

定义2 若线性规划问题存在最优解omega>0，mu>0，并且其最优目标值theta=1，则称决策单元是DEA有效的。

从上述定义可以看出，所谓DEA有效，就是指那些决策单元，它们的投入产出比达到最大。因此，可以用DEA来对决策变量进行评价。

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计算结果见表2，最优目标值用 表示。显而易见，该市在20世纪90年代的发展是朝着可持续方向前进的。

表2 用DEA方法对天津市可持续发展的相对评价结果

年份		结论	年份		结论
1990	0.2901843	非DEA有效	1995	0.7182609	非DEA有效，规模收益递增
1991	0.2853571	非DEA有效，规模收益递减	1996	0.9069108	非DEA有效，规模收益递增
1992	0.2968261	非DEA有效，规模收益递增	1997	1	DEA有效，规模收益递增
1992	0.3425151	非DEA有效，规模收益递增	1998	1	DEA有效，规模收益不变
1994	0.4594712	非DEA有效，规模收益递增	1999	1	DEA有效，规模收益不变

后面三个不是1，只是非常接进1，实际运算结果见下图：