概率论与数理统计1->随机事件和概率

第一节 随机事件及其运算

基本概念

随机事件及其特点

对随机现象所进行的观察、实验或试验等，即为E。
特点:
①在相同条件下可重复进行；
②试验的结果不止一个且所有可能的结果事先是已知的；
③每次试验之前，无法预料哪个结果会出现。

样本点

随机试验中每一个基本的可能结果，记为 $\omega$。

样本空间

一个随机试验的全体样本点构成的集合，记为 $\Omega$。

事件的关系和运算

事件的包含和相等

A $\subset$ B（A $\supset$ B）:如果事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含于事件A(或事件A包含于事件B)或称事件A是事件B的子事件。

事件的和（并）

$A\cup B:由A和B的所有样本点组成的事件,记为A\cup B或A+B即A\cup B=\{\omega \in \Omega |\omega \in A或\omega \in B\}$
$\bigcup _{i=1}^{\infty }{A}_i:多个事件A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots 的和$

事件的积(交)

$A\cap B(AB):既属于A又属于B的所有样本点组成的事件记为A\cap B或AB即A\cap B=\{\omega \in \Omega \Vert \omega \in 且\omega \in B\}$
$\bigcap _{i=1}^{\infty }{A}_i:多个事件A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots 的积$

互不相容事件(互斥事件)

$AB=\varnothing :两个事件A,B不能同时发生$

对立事件(逆事件 补事件)

$如果两事件A,B满足A\cup B=\Omega 且AB=\varnothing$
事件的差
$A-B(A\bar{B}):A发生而B不发生的事件,记为A-B即A-B=\omega \in \Omega |\omega \in A且\omega \notin B$

记号	概率论	集合论
$\Omega$	样本空间,必然事件	空间(全集))
$\varnothing$	不可能事件	空集
$\omega$	样本点	元素
$A$	事件	$\Omega$的子集
$\omega \in A$	事件A发生	$\omega$是集合A的元素
$A\subset B$	A是B的子事件	A是B的子集
$A=B$	事件A,B相等	集合A,B相等
$A\cup B$	事件A,B中至少有一个发生	集合A与B的并集
$AB$	事件A与B同时发生	集合A与B的交集
$A-B$	事件A发生而B不发生	集合A与B的差集
$\bar{A}$	A的对立事件	集合A对$\Omega$的余集
$A\cap B=\varnothing$	事件A与B互不相容	集合A与B不想交

事件的运算规律

$$\begin{gathered} ①交换律:A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A; \\ ②结合律:A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C; \\ ③分配律:A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C) \\ ④对偶律(DeMorga{n}^{\prime }slaws):\overline{A\cup B)}=\bar{A}\cap \bar{B},\overline{A\cap B)}=\bar{A}\cup \bar{B} \\ 即“交之补=补之并” \end{gathered}$$

第二节 概率及其运算性质

一.古典概型

$一般地,若样本空间\Omega 包含n个样本点,而对任意事件A,A包含了k个样本点,则定义比值\frac{k}{n}为事件A的概率,即$
$$P(A)=\frac{k}{n}=\frac{事件A所包含的样本点个数}{\Omega 中样本点总数}$$
该概率模型即被称为古典概型.

二.几何概型

$一般地,若随机试验E的样本空间\Omega 为几何空间中的一个可度量的区域,且\Omega 中每个样本点出现的可能性相同,则事件A\subset \Omega 发生的概率为$
$$P(A)=\frac{A的度量}{B的度量}$$
该概率模型即被称为几何概型.

概率的公理化定义

$$\begin{gathered} 设\mathcal{F}是样本空间\Omega 的一个事件域,若对于\forall A\subset \mathcal{F},定义在\mathcal{F}上的一个实值函数P(A)满足: \\ ①非负性:b\forall A\in \mathcal{F},有P(A)\ge 0; \\ ②规范性:P(\Omega )=1; \\ ③完全可加性:若A_i\in \mathcal{F}(i=1,2,\cdots ),且A_i{A}_j=\varnothing (i\ne j),则有 \end{gathered}$$
$$P(\bigcup _{i=1}^{\infty })=\bigcup _{i=1}^{\infty }P(A_i)$$
则称P(A)为事件A的概率.

概率的性质

$$\begin{gathered} 性质1:P(\varnothing )=0 \\ 性质2:(有限可加性)若A_1,A_2,\cdots ,A_n两两互不相容,即A_i{A}_j=\varnothing (i\ne j),则 \end{gathered}$$
$$P(\bigcup _{i=1}^n)=\bigcup _{i=1}^{n}P(A_i)$$
$性质3:设\bar{A}是A的对立事件,则$
$$P(A)=1-P(\bar{A})$$
$性质4:设A,B为两个事件,则$
$$P(A-B)=P(A)-P(AB)$$
$性质5:(加法公式)设A,B为两个事件,则$
$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

第三节 条件概率

定义

$设概率空间(\Omega ,\mathcal{F},P),事件B\in \mathcal{F}且P(B)>0,则对\forall 事件A\in \mathcal{F},称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}为事件发生的条件下,事件A发生的概率.$

运算性质

$$\begin{gathered} 概率的运算性质同样适用于条件概率,例如: \\ 对\forall 事件A,B,C,当P(C)>0时,有 \\ ①P(\varnothing |C)=0; \\ ②P(\bar{A}|C)=1-P(A|C); \\ ③P(A\cup B|C)=P(A|C)+P(A|C)-P(AB|C) \end{gathered}$$

乘法公式

$$\begin{gathered} P\left(AB\right)=P\left(A\right)P\left(B|A\right) \\ P\left(ABC\right)=P\left(A\right)P\left(B|A\right)P\left(C|AB\right) \\ P\left(A_1{A}_2\cdots A_3\right)=P\left(A_1\right)P\left(A_2|A_1\right)P\left(A_3|A_1{A}_2\right)\cdots P(A_n|A_1{A}_2\cdots A_n) \end{gathered}$$

划分(完备事件组)

$$\begin{gathered} 设A_1,A_2,\cdots ,A_n,\cdots 是有限或可数个事件,若其满足 \\ ①A_i\cap A_j=\varnothing ,i\ne j,i,j=1,1,\cdots ; \\ ②\bigcup _{i=1}^n{A}_i=\Omega \\ 则称A_1,A_2,\cdots ,A_n为样本空间S的一个完备事件组,也称为对样本空间\Omega 的划分(当发现某事件伴随一个完备事件组的发生而发生的时候,应该采用全概率公式) \end{gathered}$$

有限划分

满足划分的条件,但仅有有限个事件

全概率公式

$$\begin{gathered} \text{若}\text{有}\bigcup _{k=1}^n{B}_k=\Omega \\ \text{且}\text{有}{B}_i{B}_j=\varnothing \left(i\ne j,i,j=1,2,3,\cdots n\right) \\ \text{且}\text{有}P\left(B_k\right)>0\left(k=1,2,3,\cdots n\right) \\ \text{则}\text{有}P\left(A\right)=\sum _{k=1}^{n}P\left(B_k\right)\cdot P\left(A|B_k\right) \end{gathered}$$

贝叶斯公式(逆概率公式)

$$\begin{gathered} \text{若}\text{有}\bigcup _{k=1}^n{B}_k=S \\ \text{且}\text{有}{B}_i{B}_j=\varnothing \left(i\ne j,i,j=1,2,3,\cdots n\right) \\ \text{且}\text{有}P\left(B_k\right)>0\left(k=1,2,3,\cdots n\right) \\ \text{且}\text{有}P\left(A\right)>0 \\ \text{则}\text{有} \end{gathered}$$
$$P\left(B_k|A\right)=\frac{P(B_k)\cdot P\left(A|B_k\right)}{\sum _{i=1}^{n}P\left(B_i\right)\cdot P\left(A|B_i\right)}$$