对随机现象所进行的观察、实验或试验等,即为E。
特点:
①在相同条件下可重复进行;
②试验的结果不止一个且所有可能的结果事先是已知的;
③每次试验之前,无法预料哪个结果会出现。
随机试验中每一个基本的可能结果,记为 ω \omega ω。
一个随机试验的全体样本点构成的集合,记为 Ω \Omega Ω。
A ⊂ \subset ⊂ B(A ⊃ \supset ⊃ B):如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含于事件A(或事件A包含于事件B)或称事件A是事件B的子事件。
A ∪ B : 由 A 和 B 的 所 有 样 本 点 组 成 的 事 件 , 记 为 A ∪ B 或 A + B 即 A ∪ B = { ω ∈ Ω ∣ ω ∈ A 或 ω ∈ B } A\cup B:由A和B的所有样本点组成的事件,记为A\cup B或A+B即A\cup B=\{\omega\in\Omega|\omega\in A或\omega\in B\} A∪B:由A和B的所有样本点组成的事件,记为A∪B或A+B即A∪B={ω∈Ω∣ω∈A或ω∈B}
⋃ i = 1 ∞ A i : 多 个 事 件 A 1 , A 2 , ⋯ , A n , ⋯ 的 和 \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i:多个事件A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots的和 i=1⋃∞Ai:多个事件A1,A2,⋯,An,⋯的和
A ∩ B ( A B ) : 既 属 于 A 又 属 于 B 的 所 有 样 本 点 组 成 的 事 件 记 为 A ∩ B 或 A B 即 A ∩ B = { ω ∈ Ω ∥ ω ∈ 且 ω ∈ B } A\cap B(AB):既属于A又属于B的所有样本点组成的事件记为A\cap B或AB即A\cap B=\{\omega\in\Omega\|\omega\in且\omega\in B\} A∩B(AB):既属于A又属于B的所有样本点组成的事件记为A∩B或AB即A∩B={ω∈Ω∥ω∈且ω∈B}
⋂ i = 1 ∞ A i : 多 个 事 件 A 1 , A 2 , ⋯ , A n , ⋯ 的 积 \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i:多个事件A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots的积 i=1⋂∞Ai:多个事件A1,A2,⋯,An,⋯的积
A B = ∅ : 两 个 事 件 A , B 不 能 同 时 发 生 AB=\varnothing:两个事件A,B不能同时发生 AB=∅:两个事件A,B不能同时发生
如 果 两 事 件 A , B 满 足 A ∪ B = Ω 且 A B = ∅ 如果两事件A,B满足A\cup B=\Omega且AB=\varnothing 如果两事件A,B满足A∪B=Ω且AB=∅
事件的差
A − B ( A B ˉ ) : A 发 生 而 B 不 发 生 的 事 件 , 记 为 A − B 即 A − B = ω ∈ Ω ∣ ω ∈ A 且 ω ∉ B A-B(A\bar{B}):A发生而B不发生的事件,记为A-B即A-B={\omega\in\Omega|\omega\in A且\omega\notin B} A−B(ABˉ):A发生而B不发生的事件,记为A−B即A−B=ω∈Ω∣ω∈A且ω∈/B
记号 | 概率论 | 集合论 |
---|---|---|
Ω \Omega Ω | 样本空间,必然事件 | 空间(全集)) |
∅ \varnothing ∅ | 不可能事件 | 空集 |
ω \omega ω | 样本点 | 元素 |
A A A | 事件 | Ω \Omega Ω的子集 |
ω ∈ A \omega\in A ω∈A | 事件A发生 | ω \omega ω是集合A的元素 |
A ⊂ B A\subset B A⊂B | A是B的子事件 | A是B的子集 |
A = B A=B A=B | 事件A,B相等 | 集合A,B相等 |
A ∪ B A\cup B A∪B | 事件A,B中至少有一个发生 | 集合A与B的并集 |
A B AB AB | 事件A与B同时发生 | 集合A与B的交集 |
A − B A-B A−B | 事件A发生而B不发生 | 集合A与B的差集 |
A ˉ \bar{A} Aˉ | A的对立事件 | 集合A对 Ω \Omega Ω的余集 |
A ∩ B = ∅ A\cap B=\varnothing A∩B=∅ | 事件A与B互不相容 | 集合A与B不想交 |
① 交 换 律 : A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A ; ② 结 合 律 : A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C ; ③ 分 配 律 : A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ④ 对 偶 律 ( D e M o r g a n ′ s l a w s ) : A ∪ B ) ‾ = A ˉ ∩ B ˉ , A ∩ B ) ‾ = A ˉ ∪ B ˉ 即 “ 交 之 补 = 补 之 并 ” ①交换律:A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A;\\ ②结合律:A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C;\\ ③分配律:A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\\ ④对偶律(De Morgan's laws):\overline{A\cup B)}=\bar A\cap \bar B,\overline{A\cap B)}=\bar A\cup \bar B\\ 即“交之补=补之并” ①交换律:A∪B=B∪A,A∩B=B∩A;②结合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,A∩(B∩C)=(A∩B)∩C;③分配律:A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)④对偶律(DeMorgan′slaws):A∪B)=Aˉ∩Bˉ,A∩B)=Aˉ∪Bˉ即“交之补=补之并”
一 般 地 , 若 样 本 空 间 Ω 包 含 n 个 样 本 点 , 而 对 任 意 事 件 A , A 包 含 了 k 个 样 本 点 , 则 定 义 比 值 k n 为 事 件 A 的 概 率 , 即 一般地,若样本空间\Omega包含n个样本点,而对任意事件A,A包含了k个样本点,则定义比值\frac{k}{n}为事件A的概率,即 一般地,若样本空间Ω包含n个样本点,而对任意事件A,A包含了k个样本点,则定义比值nk为事件A的概率,即
P ( A ) = k n = 事 件 A 所 包 含 的 样 本 点 个 数 Ω 中 样 本 点 总 数 P(A)=\frac{k}{n}=\frac{事件A所包含的样本点个数}{\Omega中样本点总数} P(A)=nk=Ω中样本点总数事件A所包含的样本点个数
该概率模型即被称为古典概型.
一 般 地 , 若 随 机 试 验 E 的 样 本 空 间 Ω 为 几 何 空 间 中 的 一 个 可 度 量 的 区 域 , 且 Ω 中 每 个 样 本 点 出 现 的 可 能 性 相 同 , 则 事 件 A ⊂ Ω 发 生 的 概 率 为 一般地,若随机试验E的样本空间\Omega为几何空间中的一个可度量的区域,且\Omega中每个样本点出现的可能性相同,则事件A\subset \Omega发生的概率为 一般地,若随机试验E的样本空间Ω为几何空间中的一个可度量的区域,且Ω中每个样本点出现的可能性相同,则事件A⊂Ω发生的概率为
P ( A ) = A 的 度 量 B 的 度 量 P(A)=\frac{A的度量}{B的度量} P(A)=B的度量A的度量
该概率模型即被称为几何概型.
设 F 是 样 本 空 间 Ω 的 一 个 事 件 域 , 若 对 于 ∀ A ⊂ F , 定 义 在 F 上 的 一 个 实 值 函 数 P ( A ) 满 足 : ① 非 负 性 : b ∀ A ∈ F , 有 P ( A ) ≥ 0 ; ② 规 范 性 : P ( Ω ) = 1 ; ③ 完 全 可 加 性 : 若 A i ∈ F ( i = 1 , 2 , ⋯ ) , 且 A i A j = ∅ ( i ≠ j ) , 则 有 设\mathscr{F}是样本空间\Omega的一个事件域,若对于\forall A\subset \mathscr{F},定义在\mathscr{F}上的一个实值函数P(A)满足:\\ ①非负性:b\forall A \in\mathscr{F},有P(A)\geq0;\\ ②规范性:P(\Omega)=1;\\ ③完全可加性:若A_i\in\mathscr{F}(i=1,2,\cdots),且A_iA_j=\varnothing(i\not=j),则有 设F是样本空间Ω的一个事件域,若对于∀A⊂F,定义在F上的一个实值函数P(A)满足:①非负性:b∀A∈F,有P(A)≥0;②规范性:P(Ω)=1;③完全可加性:若Ai∈F(i=1,2,⋯),且AiAj=∅(i=j),则有
P ( ⋃ i = 1 ∞ ) = ⋃ i = 1 ∞ P ( A i ) P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty})=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i) P(i=1⋃∞)=i=1⋃∞P(Ai)
则称P(A)为事件A的概率.
性 质 1 : P ( ∅ ) = 0 性 质 2 : ( 有 限 可 加 性 ) 若 A 1 , A 2 , ⋯ , A n 两 两 互 不 相 容 , 即 A i A j = ∅ ( i ≠ j ) , 则 性质1:P(\varnothing)=0\\ 性质2:(有限可加性)若A_1,A_2,\cdots,A_n两两互不相容,即A_iA_j=\varnothing(i\not=j),则 性质1:P(∅)=0性质2:(有限可加性)若A1,A2,⋯,An两两互不相容,即AiAj=∅(i=j),则
P ( ⋃ i = 1 n ) = ⋃ i = 1 n P ( A i ) P(\bigcup\limits_{i=1}^{n})=\bigcup\limits_{i=1}^{n}P(A_i) P(i=1⋃n)=i=1⋃nP(Ai)
性 质 3 : 设 A ˉ 是 A 的 对 立 事 件 , 则 性质3:设\bar{A}是A的对立事件,则 性质3:设Aˉ是A的对立事件,则
P ( A ) = 1 − P ( A ˉ ) P(A)=1-P(\bar{A}) P(A)=1−P(Aˉ)
性 质 4 : 设 A , B 为 两 个 事 件 , 则 性质4:设A,B为两个事件,则 性质4:设A,B为两个事件,则
P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(A−B)=P(A)−P(AB)
性 质 5 : ( 加 法 公 式 ) 设 A , B 为 两 个 事 件 , 则 性质5:(加法公式)设A,B为两个事件,则 性质5:(加法公式)设A,B为两个事件,则
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
设 概 率 空 间 ( Ω , F , P ) , 事 件 B ∈ F 且 P ( B ) > 0 , 则 对 ∀ 事 件 A ∈ F , 称 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) 为 事 件 发 生 的 条 件 下 , 事 件 A 发 生 的 概 率 . 设概率空间(\Omega,\mathscr{F},P),事件B\in\mathscr{F}且P(B)>0,则对\forall事件A\in\mathscr{F},称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}为事件发生的条件下,事件A发生的概率. 设概率空间(Ω,F,P),事件B∈F且P(B)>0,则对∀事件A∈F,称P(A∣B)=P(B)P(AB)为事件发生的条件下,事件A发生的概率.
概 率 的 运 算 性 质 同 样 适 用 于 条 件 概 率 , 例 如 : 对 ∀ 事 件 A , B , C , 当 P ( C ) > 0 时 , 有 ① P ( ∅ ∣ C ) = 0 ; ② P ( A ˉ ∣ C ) = 1 − P ( A ∣ C ) ; ③ P ( A ∪ B ∣ C ) = P ( A ∣ C ) + P ( A ∣ C ) − P ( A B ∣ C ) 概率的运算性质同样适用于条件概率,例如:\\ 对\forall事件A,B,C,当P(C)>0时,有\\ ①P(\varnothing|C)=0;\\ ②P(\bar{A}|C)=1-P(A|C);\\ ③P(A\cup B|C)=P(A|C)+P(A|C)-P(AB|C) 概率的运算性质同样适用于条件概率,例如:对∀事件A,B,C,当P(C)>0时,有①P(∅∣C)=0;②P(Aˉ∣C)=1−P(A∣C);③P(A∪B∣C)=P(A∣C)+P(A∣C)−P(AB∣C)
P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( C ∣ A B ) P ( A 1 A 2 ⋯ A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋯ A n ) {P{ \left( {AB} \right) }=P{ \left( {A} \right) }P{ \left( {B \left| A\right. } \right) }}\\ {P{ \left( {ABC} \right) }=P{ \left( {A} \right) }P{ \left( {B \left| A\right. } \right) }P{ \left( {C \left| AB\right. } \right) }}\\ {P{ \left( {A_1A_2\cdots A_3} \right) }=P{ \left( {A_1} \right) }P{ \left( {A_2 \left| A_1\right. } \right) }P{ \left( {A_3 \left| A_1A_2\right. } \right) }\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_n)} P(AB)=P(A)P(B∣A)P(ABC)=P(A)P(B∣A)P(C∣AB)P(A1A2⋯A3)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An)
设 A 1 , A 2 , ⋯ , A n , ⋯ 是 有 限 或 可 数 个 事 件 , 若 其 满 足 ① A i ∩ A j = ∅ , i ≠ j , i , j = 1 , 1 , ⋯ ; ② ⋃ i = 1 n A i = Ω 则 称 A 1 , A 2 , ⋯ , A n 为 样 本 空 间 S 的 一 个 完 备 事 件 组 , 也 称 为 对 样 本 空 间 Ω 的 划 分 ( 当 发 现 某 事 件 伴 随 一 个 完 备 事 件 组 的 发 生 而 发 生 的 时 候 , 应 该 采 用 全 概 率 公 式 ) 设A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots是有限或可数个事件,若其满足\\ ①A_i\cap A_j=\varnothing,i\not=j,i,j=1,1,\cdots;\\ ②\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i=\Omega\\ 则称A_1,A_2,\cdots,A_n为样本空间S的一个完备事件组,也称为对样本空间\Omega的划分(当发现某事件伴随一个完备事件组的发生而发生的时候,应该采用全概率公式) 设A1,A2,⋯,An,⋯是有限或可数个事件,若其满足①Ai∩Aj=∅,i=j,i,j=1,1,⋯;②i=1⋃nAi=Ω则称A1,A2,⋯,An为样本空间S的一个完备事件组,也称为对样本空间Ω的划分(当发现某事件伴随一个完备事件组的发生而发生的时候,应该采用全概率公式)
满足划分的条件,但仅有有限个事件
若有 ⋃ k = 1 n B k = Ω 且有 B i B j = ∅ ( i ≠ j , i , j = 1 , 2 , 3 , ⋯ n ) 且有 P ( B k ) > 0 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯ n ) 则有 P ( A ) = ∑ k = 1 n P ( B k ) ⋅ P ( A ∣ B k ) {\text{若}\text{有}\mathop{ \bigcup }\limits_{{k=1}}^{{n}}\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}=\Omega}\\ {\text{且}\text{有}\mathop{{B}}\nolimits_{{i}}\mathop{{B}}\nolimits_{{j}}= \varnothing { \left( {i \neq j,i,j=1,2,3, \cdots n} \right) }}\\ {\text{且}\text{有}P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}} \right) } > 0{ \left( {k=1,2,3, \cdots n} \right) }}\\ {\text{则}\text{有}P{ \left( {A} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{k=1}}^{{n}}P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}} \right) } \cdot P{ \left( {A \left| \mathop{{B}}\nolimits_{{k}}\right. } \right) }} 若有k=1⋃nBk=Ω且有BiBj=∅(i=j,i,j=1,2,3,⋯n)且有P(Bk)>0(k=1,2,3,⋯n)则有P(A)=k=1∑nP(Bk)⋅P(A∣Bk)
若有 ⋃ k = 1 n B k = S 且有 B i B j = ∅ ( i ≠ j , i , j = 1 , 2 , 3 , ⋯ n ) 且有 P ( B k ) > 0 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯ n ) 且有 P ( A ) > 0 则有 {\text{若}\text{有}\mathop{ \bigcup }\limits_{{k=1}}^{{n}}\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}=S}\\ {\text{且}\text{有}\mathop{{B}}\nolimits_{{i}}\mathop{{B}}\nolimits_{{j}}= \varnothing { \left( {i \neq j,i,j=1,2,3, \cdots n} \right) }}\\ {\text{且}\text{有}P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}} \right) } > 0{ \left( {k=1,2,3, \cdots n} \right) }}\\ {\text{且}\text{有}P{ \left( {A} \right) } > 0}\\{\text{则}\text{有}} 若有k=1⋃nBk=S且有BiBj=∅(i=j,i,j=1,2,3,⋯n)且有P(Bk)>0(k=1,2,3,⋯n)且有P(A)>0则有
P ( B k ∣ A ) = P ( B k ) ⋅ P ( A ∣ B k ) ∑ i = 1 n P ( B i ) ⋅ P ( A ∣ B i ) P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}} \left| A\right. } \right) }=\frac{{P \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}} \left) \cdot P{ \left( {A \left| {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}}\right. } \right) }\right. \right. }}{{\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{i}}} \right) } \cdot P{ \left( {A \left| \mathop{{B}}\nolimits_{{i}}\right. } \right)}}} P(Bk∣A)=i=1∑nP(Bi)⋅P(A∣Bi)P(Bk)⋅P(A∣Bk)