概率论与数理统计1->随机事件和概率

随机事件

  • 第一节 随机事件及其运算
    • 基本概念
      • 随机事件及其特点
      • 样本点
      • 样本空间
    • 事件的关系和运算
      • 事件的包含和相等
      • 事件的和(并)
      • 事件的积(交)
      • 互不相容事件(互斥事件)
    • 对立事件(逆事件 补事件)
    • 事件的运算规律
  • 第二节 概率及其运算性质
    • 一.古典概型
    • 二.几何概型
    • 概率的公理化定义
    • 概率的性质
  • 第三节 条件概率
    • 定义
    • 运算性质
    • 乘法公式
    • 划分(完备事件组)
    • 有限划分
    • 全概率公式
    • 贝叶斯公式(逆概率公式)

第一节 随机事件及其运算

基本概念

随机事件及其特点

对随机现象所进行的观察、实验或试验等,即为E。
特点:
①在相同条件下可重复进行;
②试验的结果不止一个且所有可能的结果事先是已知的;
③每次试验之前,无法预料哪个结果会出现。

样本点

随机试验中每一个基本的可能结果,记为 ω \omega ω

样本空间

一个随机试验的全体样本点构成的集合,记为 Ω \Omega Ω

事件的关系和运算

事件的包含和相等

A ⊂ \subset B(A ⊃ \supset B):如果事件A发生必然导致事件B发生,则称事件B包含于事件A(或事件A包含于事件B)或称事件A是事件B的子事件。

事件的和(并)

A ∪ B : 由 A 和 B 的 所 有 样 本 点 组 成 的 事 件 , 记 为 A ∪ B 或 A + B 即 A ∪ B = { ω ∈ Ω ∣ ω ∈ A 或 ω ∈ B } A\cup B:由A和B的所有样本点组成的事件,记为A\cup B或A+B即A\cup B=\{\omega\in\Omega|\omega\in A或\omega\in B\} AB:AB,ABA+BAB={ωΩωAωB}
⋃ i = 1 ∞ A i : 多 个 事 件 A 1 , A 2 , ⋯   , A n , ⋯ 的 和 \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i:多个事件A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots的和 i=1Ai:A1,A2,,An,

事件的积(交)

A ∩ B ( A B ) : 既 属 于 A 又 属 于 B 的 所 有 样 本 点 组 成 的 事 件 记 为 A ∩ B 或 A B 即 A ∩ B = { ω ∈ Ω ∥ ω ∈ 且 ω ∈ B } A\cap B(AB):既属于A又属于B的所有样本点组成的事件记为A\cap B或AB即A\cap B=\{\omega\in\Omega\|\omega\in且\omega\in B\} AB(AB):ABABABAB={ωΩωωB}
⋂ i = 1 ∞ A i : 多 个 事 件 A 1 , A 2 , ⋯   , A n , ⋯ 的 积 \bigcap\limits_{i=1}^{\infty} A_i:多个事件A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots的积 i=1Ai:A1,A2,,An,

互不相容事件(互斥事件)

A B = ∅ : 两 个 事 件 A , B 不 能 同 时 发 生 AB=\varnothing:两个事件A,B不能同时发生 AB=:A,B

对立事件(逆事件 补事件)

如 果 两 事 件 A , B 满 足 A ∪ B = Ω 且 A B = ∅ 如果两事件A,B满足A\cup B=\Omega且AB=\varnothing A,BAB=ΩAB=
事件的差
A − B ( A B ˉ ) : A 发 生 而 B 不 发 生 的 事 件 , 记 为 A − B 即 A − B = ω ∈ Ω ∣ ω ∈ A 且 ω ∉ B A-B(A\bar{B}):A发生而B不发生的事件,记为A-B即A-B={\omega\in\Omega|\omega\in A且\omega\notin B} AB(ABˉ):AB,ABAB=ωΩωAω/B

记号 概率论 集合论
Ω \Omega Ω 样本空间,必然事件 空间(全集))
∅ \varnothing 不可能事件 空集
ω \omega ω 样本点 元素
A A A 事件 Ω \Omega Ω的子集
ω ∈ A \omega\in A ωA 事件A发生 ω \omega ω是集合A的元素
A ⊂ B A\subset B AB A是B的子事件 A是B的子集
A = B A=B A=B 事件A,B相等 集合A,B相等
A ∪ B A\cup B AB 事件A,B中至少有一个发生 集合A与B的并集
A B AB AB 事件A与B同时发生 集合A与B的交集
A − B A-B AB 事件A发生而B不发生 集合A与B的差集
A ˉ \bar{A} Aˉ A的对立事件 集合A对 Ω \Omega Ω的余集
A ∩ B = ∅ A\cap B=\varnothing AB= 事件A与B互不相容 集合A与B不想交

事件的运算规律

① 交 换 律 : A ∪ B = B ∪ A , A ∩ B = B ∩ A ; ② 结 合 律 : A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C , A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C ; ③ 分 配 律 : A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ④ 对 偶 律 ( D e M o r g a n ′ s l a w s ) : A ∪ B ) ‾ = A ˉ ∩ B ˉ , A ∩ B ) ‾ = A ˉ ∪ B ˉ 即 “ 交 之 补 = 补 之 并 ” ①交换律:A\cup B=B\cup A,A\cap B=B\cap A;\\ ②结合律:A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C,A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C;\\ ③分配律:A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C),A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\\ ④对偶律(De Morgan's laws):\overline{A\cup B)}=\bar A\cap \bar B,\overline{A\cap B)}=\bar A\cup \bar B\\ 即“交之补=补之并” :AB=BA,AB=BA;:A(BC)=(AB)C,A(BC)=(AB)C;:A(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)(DeMorganslaws):AB)=AˉBˉ,AB)=AˉBˉ=

第二节 概率及其运算性质

一.古典概型

一 般 地 , 若 样 本 空 间 Ω 包 含 n 个 样 本 点 , 而 对 任 意 事 件 A , A 包 含 了 k 个 样 本 点 , 则 定 义 比 值 k n 为 事 件 A 的 概 率 , 即 一般地,若样本空间\Omega包含n个样本点,而对任意事件A,A包含了k个样本点,则定义比值\frac{k}{n}为事件A的概率,即 ,Ωn,A,Ak,nkA,
P ( A ) = k n = 事 件 A 所 包 含 的 样 本 点 个 数 Ω 中 样 本 点 总 数 P(A)=\frac{k}{n}=\frac{事件A所包含的样本点个数}{\Omega中样本点总数} P(A)=nk=ΩA
该概率模型即被称为古典概型.

二.几何概型

一 般 地 , 若 随 机 试 验 E 的 样 本 空 间 Ω 为 几 何 空 间 中 的 一 个 可 度 量 的 区 域 , 且 Ω 中 每 个 样 本 点 出 现 的 可 能 性 相 同 , 则 事 件 A ⊂ Ω 发 生 的 概 率 为 一般地,若随机试验E的样本空间\Omega为几何空间中的一个可度量的区域,且\Omega中每个样本点出现的可能性相同,则事件A\subset \Omega发生的概率为 ,EΩ,Ω,AΩ
P ( A ) = A 的 度 量 B 的 度 量 P(A)=\frac{A的度量}{B的度量} P(A)=BA
该概率模型即被称为几何概型.

概率的公理化定义

设 F 是 样 本 空 间 Ω 的 一 个 事 件 域 , 若 对 于 ∀ A ⊂ F , 定 义 在 F 上 的 一 个 实 值 函 数 P ( A ) 满 足 : ① 非 负 性 : b ∀ A ∈ F , 有 P ( A ) ≥ 0 ; ② 规 范 性 : P ( Ω ) = 1 ; ③ 完 全 可 加 性 : 若 A i ∈ F ( i = 1 , 2 , ⋯   ) , 且 A i A j = ∅ ( i ≠ j ) , 则 有 设\mathscr{F}是样本空间\Omega的一个事件域,若对于\forall A\subset \mathscr{F},定义在\mathscr{F}上的一个实值函数P(A)满足:\\ ①非负性:b\forall A \in\mathscr{F},有P(A)\geq0;\\ ②规范性:P(\Omega)=1;\\ ③完全可加性:若A_i\in\mathscr{F}(i=1,2,\cdots),且A_iA_j=\varnothing(i\not=j),则有 FΩ,AF,FP(A)::bAF,P(A)0;:P(Ω)=1;:AiF(i=1,2,),AiAj=(i=j),
P ( ⋃ i = 1 ∞ ) = ⋃ i = 1 ∞ P ( A i ) P(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty})=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}P(A_i) P(i=1)=i=1P(Ai)
则称P(A)为事件A的概率.

概率的性质

性 质 1 : P ( ∅ ) = 0 性 质 2 : ( 有 限 可 加 性 ) 若 A 1 , A 2 , ⋯   , A n 两 两 互 不 相 容 , 即 A i A j = ∅ ( i ≠ j ) , 则 性质1:P(\varnothing)=0\\ 性质2:(有限可加性)若A_1,A_2,\cdots,A_n两两互不相容,即A_iA_j=\varnothing(i\not=j),则 1:P()=02:()A1,A2,,An,AiAj=(i=j),
P ( ⋃ i = 1 n ) = ⋃ i = 1 n P ( A i ) P(\bigcup\limits_{i=1}^{n})=\bigcup\limits_{i=1}^{n}P(A_i) P(i=1n)=i=1nP(Ai)
性 质 3 : 设 A ˉ 是 A 的 对 立 事 件 , 则 性质3:设\bar{A}是A的对立事件,则 3:AˉA,
P ( A ) = 1 − P ( A ˉ ) P(A)=1-P(\bar{A}) P(A)=1P(Aˉ)
性 质 4 : 设 A , B 为 两 个 事 件 , 则 性质4:设A,B为两个事件,则 4:A,B,
P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) P(A-B)=P(A)-P(AB) P(AB)=P(A)P(AB)
性 质 5 : ( 加 法 公 式 ) 设 A , B 为 两 个 事 件 , 则 性质5:(加法公式)设A,B为两个事件,则 5:()A,B,
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)

第三节 条件概率

定义

设 概 率 空 间 ( Ω , F , P ) , 事 件 B ∈ F 且 P ( B ) > 0 , 则 对 ∀ 事 件 A ∈ F , 称 P ( A ∣ B ) = P ( A B ) P ( B ) 为 事 件 发 生 的 条 件 下 , 事 件 A 发 生 的 概 率 . 设概率空间(\Omega,\mathscr{F},P),事件B\in\mathscr{F}且P(B)>0,则对\forall事件A\in\mathscr{F},称P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}为事件发生的条件下,事件A发生的概率. (Ω,F,P),BFP(B)>0,AF,P(AB)=P(B)P(AB),A.

运算性质

概 率 的 运 算 性 质 同 样 适 用 于 条 件 概 率 , 例 如 : 对 ∀ 事 件 A , B , C , 当 P ( C ) > 0 时 , 有 ① P ( ∅ ∣ C ) = 0 ; ② P ( A ˉ ∣ C ) = 1 − P ( A ∣ C ) ; ③ P ( A ∪ B ∣ C ) = P ( A ∣ C ) + P ( A ∣ C ) − P ( A B ∣ C ) 概率的运算性质同样适用于条件概率,例如:\\ 对\forall事件A,B,C,当P(C)>0时,有\\ ①P(\varnothing|C)=0;\\ ②P(\bar{A}|C)=1-P(A|C);\\ ③P(A\cup B|C)=P(A|C)+P(A|C)-P(AB|C) ,:A,B,C,P(C)>0,P(C)=0;P(AˉC)=1P(AC);P(ABC)=P(AC)+P(AC)P(ABC)

乘法公式

P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P ( C ∣ A B ) P ( A 1 A 2 ⋯ A 3 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋯ A n ) {P{ \left( {AB} \right) }=P{ \left( {A} \right) }P{ \left( {B \left| A\right. } \right) }}\\ {P{ \left( {ABC} \right) }=P{ \left( {A} \right) }P{ \left( {B \left| A\right. } \right) }P{ \left( {C \left| AB\right. } \right) }}\\ {P{ \left( {A_1A_2\cdots A_3} \right) }=P{ \left( {A_1} \right) }P{ \left( {A_2 \left| A_1\right. } \right) }P{ \left( {A_3 \left| A_1A_2\right. } \right) }\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_n)} P(AB)=P(A)P(BA)P(ABC)=P(A)P(BA)P(CAB)P(A1A2A3)=P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)P(AnA1A2An)

划分(完备事件组)

设 A 1 , A 2 , ⋯   , A n , ⋯ 是 有 限 或 可 数 个 事 件 , 若 其 满 足 ① A i ∩ A j = ∅ , i ≠ j , i , j = 1 , 1 , ⋯   ; ② ⋃ i = 1 n A i = Ω 则 称 A 1 , A 2 , ⋯   , A n 为 样 本 空 间 S 的 一 个 完 备 事 件 组 , 也 称 为 对 样 本 空 间 Ω 的 划 分 ( 当 发 现 某 事 件 伴 随 一 个 完 备 事 件 组 的 发 生 而 发 生 的 时 候 , 应 该 采 用 全 概 率 公 式 ) 设A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots是有限或可数个事件,若其满足\\ ①A_i\cap A_j=\varnothing,i\not=j,i,j=1,1,\cdots;\\ ②\bigcup\limits_{i=1}^{n} A_i=\Omega\\ 则称A_1,A_2,\cdots,A_n为样本空间S的一个完备事件组,也称为对样本空间\Omega的划分(当发现某事件伴随一个完备事件组的发生而发生的时候,应该采用全概率公式) A1,A2,,An,,AiAj=,i=j,i,j=1,1,;i=1nAi=ΩA1,A2,,AnS,Ω(,)

有限划分

满足划分的条件,但仅有有限个事件

全概率公式

若有 ⋃ k = 1 n B k = Ω 且有 B i B j = ∅ ( i ≠ j , i , j = 1 , 2 , 3 , ⋯ n ) 且有 P ( B k ) > 0 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯ n ) 则有 P ( A ) = ∑ k = 1 n P ( B k ) ⋅ P ( A ∣ B k ) {\text{若}\text{有}\mathop{ \bigcup }\limits_{{k=1}}^{{n}}\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}=\Omega}\\ {\text{且}\text{有}\mathop{{B}}\nolimits_{{i}}\mathop{{B}}\nolimits_{{j}}= \varnothing { \left( {i \neq j,i,j=1,2,3, \cdots n} \right) }}\\ {\text{且}\text{有}P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}} \right) } > 0{ \left( {k=1,2,3, \cdots n} \right) }}\\ {\text{则}\text{有}P{ \left( {A} \right) }=\mathop{ \sum }\limits_{{k=1}}^{{n}}P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}} \right) } \cdot P{ \left( {A \left| \mathop{{B}}\nolimits_{{k}}\right. } \right) }} k=1nBk=ΩBiBj=(i=j,i,j=1,2,3,n)P(Bk)>0(k=1,2,3,n)P(A)=k=1nP(Bk)P(ABk)

贝叶斯公式(逆概率公式)

若有 ⋃ k = 1 n B k = S 且有 B i B j = ∅ ( i ≠ j , i , j = 1 , 2 , 3 , ⋯ n ) 且有 P ( B k ) > 0 ( k = 1 , 2 , 3 , ⋯ n ) 且有 P ( A ) > 0 则有 {\text{若}\text{有}\mathop{ \bigcup }\limits_{{k=1}}^{{n}}\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}=S}\\ {\text{且}\text{有}\mathop{{B}}\nolimits_{{i}}\mathop{{B}}\nolimits_{{j}}= \varnothing { \left( {i \neq j,i,j=1,2,3, \cdots n} \right) }}\\ {\text{且}\text{有}P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}} \right) } > 0{ \left( {k=1,2,3, \cdots n} \right) }}\\ {\text{且}\text{有}P{ \left( {A} \right) } > 0}\\{\text{则}\text{有}} k=1nBk=SBiBj=(i=j,i,j=1,2,3,n)P(Bk)>0(k=1,2,3,n)P(A)>0
P ( B k ∣ A ) = P ( B k ) ⋅ P ( A ∣ B k ) ∑ i = 1 n P ( B i ) ⋅ P ( A ∣ B i ) P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}} \left| A\right. } \right) }=\frac{{P \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}} \left) \cdot P{ \left( {A \left| {\mathop{{B}}\nolimits_{{k}}}\right. } \right) }\right. \right. }}{{\mathop{ \sum }\limits_{{i=1}}^{{n}}P{ \left( {\mathop{{B}}\nolimits_{{i}}} \right) } \cdot P{ \left( {A \left| \mathop{{B}}\nolimits_{{i}}\right. } \right)}}} P(BkA)=i=1nP(Bi)P(ABi)P(Bk)P(ABk)

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