重学数据结构之哈夫曼树

一、哈夫曼树

1.带权扩充二叉树的外部路径长度

　　扩充二叉树的外部路径长度，即根到其叶子节点的路径长度之和。

　　例如下面这两种带权扩充二叉树：

　　

　　左边的二叉树的外部路径长度为：(2 + 3 + 6 + 9) * 2 = 38。

　　右边的二叉树的外部路径长度为：9 + 6 * 2 + (2 + 3) * 3 = 36。

2.哈夫曼树

　　哈夫曼树（Huffman Tree）是一种重要的二叉树，在信息领域有重要的理论和实际价值。

　　设有实数集 W = {W₀ ，W₁ ，···，W_m-1 }，T 是一颗扩充二叉树，其 m 个外部节点分别以 W_i (i = 1, 2, n - 1) 为权，而且 T 的带权外部路径长度在所有这样的扩充二叉树中达到最小，则称 T 为数据集 W 的最优二叉树或者哈夫曼树。

 

二、哈夫曼算法

1.基本概念

　　哈夫曼（D.A.Huffman）提出了一个算法，它能从任意的实数集合构造出与之对应的哈夫曼树。这个构造算法描述如下：

• 算法的输入为实数集合 W = {W₀ ，W₁ ，···，W_m-1 }。
• 在构造中维护一个包含 k 个二叉树集合的集合 F，开始时k = m 且 F = {T₀ ，T₁ ，···，T_m-1 }，其中每个 T_i 是一颗只包含权为 W_i 的根节点的二叉树。

　　该算法的构造过程中会重复执行以下两个步骤，直到集合 F 中只剩下一棵树为止：

1. 构造一颗二叉树，其左右子树是从集合 F 中选取的两颗权值最小的二叉树，其根节点的权值设置为这两颗子树的根节点的权值之和。
2. 将所选取的两颗二叉树从集合 F 中删除，把新构造的二叉树加入到集合 F 中。　

　　注意：给定集合 W 上的哈夫曼树并不唯一！

2.示例

　　对于实数集合 W = {2, 1, 3, 7, 8, 4, 5}，下面的图1到图7表示了从这个实数集合开始，构造一个哈夫曼树的过程：

　　图1：

 　　图2：

 

 　　图3：

 

　　图4： 　　

　　图5： 

 

　　图6： 

 

　　图7： 

 

 

三、哈夫曼算法的实现

1.实现思路

　　要实现哈夫曼算法，需要维护一组二叉树，而且要知道每颗二叉树的根节点的权值 ，这个可以使用前面定义的二叉树的节点来构造哈夫曼树，只需要在根节点处记录该树的权值。而在执行算法时

　　在算法开始时，需要根据传入的实数集和来创建一组单节点的二叉树，并以权值作为其优先级存入一个优先级队列之中，在之后的过程中反复执行以下两步，直至队列中只有一颗二叉树：

　　1）从该优先级队列中取出两颗权值最小的二叉树；

　　2）创建一颗新的二叉树，其权值为选出的两棵树的权值之和，其左右子树分别为选出的两颗树，并将创建好的二叉树加入到优先级队列中。

　　当整个优先级队列中只剩下一颗二叉树的时候，就得到我们需要的哈夫曼树了。

2.实现代码

　　首先是要对哈夫曼树的节点进行定义，主要是增加一个权值，定义哈夫曼树节点的代码如下：

1 # 哈夫曼树节点
2 class HNode(Node):
3     def __init__(self, value=None, left=None, right=None, weight=None):
4         super(HNode, self).__init__()
5         self.value = value
6         self.left = left
7         self.right = right
8         self.weight = weight

　　然后还需要一个优先级的队列，在我前面写过的一篇队列的博客中有提到，只不过那篇博客里的优先级队列用的是一个最大堆，而在这里需要用最小堆，这样每次才能取出权值最小的树。

　　最后，下面就是实现哈夫曼算法的主要代码了：

 1 def create(weights: list):
 2     """
 3     根据传入的权值列表创建一个哈夫曼树
 4     :param weights: 实数集合
 5     """
 6     queue = PriorityQueue()
 7     # 将节点添加到优先级队列中
 8     for weight in weights:
 9         node = HNode(weight=weight)
10         queue.enqueue(node, weight)
11     while queue.size() > 1:
12         node1 = queue.dequeue()
13         node2 = queue.dequeue()
14         new_node = HNode(left=node1, right=node2, weight=node1.weight + node2.weight)
15         queue.enqueue(new_node, new_node.weight)
16     return queue.dequeue()

 

四、哈夫曼编码问题

1.问题描述 

　　最优编码问题，给定两个集合 C 和 W，C 为基本数据集合，W 为 C 中各个字符在实际信息传递中使用的频率，要求设定一套编码规则，要求： 1）使用这种编码规则的开销最小； 2）对任意一对不同字符 Ci 和 Cj，要求 Ci 的编码不是 Cj 编码的前缀。

2.问题分析

　　使用哈夫曼算法构建一颗哈夫曼树，这棵树的叶子节点的数量和字符数量一致，叶子节点的值就是字符的值，叶子节点的权值就是该字符对应的使用频率。然后从根节点开始遍历，往左子树遍历时标记为0，往右子树遍历时标记为1，这样就能保证走到叶子节点时所标记的路径结果是不一样的了，最后将每个叶子节点的值和对应的标记结果返回，就是题目所求的最优编码。

　　例如输入的数据为：{"A": 2, "b": 3, "c": 5, "d": 6, "e": 9} 。

　　则构造出来的哈夫曼树如下图：

　　最后得到的编码为：{"A": "000", "b": "001", "c": "01", "d": "10", "e": "11"} 

3.代码实现

　　下面就是使用哈夫曼算法来求解编码问题的主要代码了：

 1 from Tree.tree import Node
 2 from Queue.queue import PriorityQueue
 3 
 4 
 5 # 哈夫曼树节点
 6 class HNode(Node):
 7     def __init__(self, value=None, left=None, right=None, weight=None):
 8         super(HNode, self).__init__()
 9         self.value = value
10         self.left = left
11         self.right = right
12         self.weight = weight
13 
14 
15 # 自定义哈夫曼树
16 class HuffmanTree:
17     def __init__(self):
18         self.root = HNode()
19         self.code = {}
20 
21     def get_leaves(self, node: HNode, code: str):
22         """
23         获取所有叶节点，对树中的分支节点向左子节点的路径标记为0，向右子节点的路径标记为1
24         :param node: 哈夫曼树的节点
25         :param code: 字符使用的编码
26         :return:
27         """
28         if not node:
29             return
30         code_ = code  # 因为要分别向左向右探索路径，所以需要复制一份
31         if node.left:
32             code += "0"
33             self.get_leaves(node.left, code)
34         if node.right:
35             code_ += "1"
36             self.get_leaves(node.right, code_)
37         # 没有左右子节点，表明是叶子节点
38         if not node.left and not node.right:
39             self.code[node.value] = code
40 
41     def create(self, char_data: dict):
42         """
43         根据传入的权值列表创建一个哈夫曼树
44         :param char_data: 字符和其对应频率的字典
45         """
46         queue = PriorityQueue()
47         # 将节点添加到优先级队列中
48         for char, weight in char_data.items():
49             node = HNode(value=char, weight=weight)
50             queue.enqueue(node, weight)
51         while queue.size() > 1:
52             node1 = queue.dequeue()
53             node2 = queue.dequeue()
54             new_node = HNode(left=node1, right=node2, weight=node1.weight + node2.weight)
55             queue.enqueue(new_node, new_node.weight)
56         self.root = queue.dequeue()
57 
58 
59 def solution(char_data: dict):
60     """
61     解决哈夫曼编码问题
62     :param char_data: 字符和其对应频率的字典
63     :return:
64     """
65     tree = HuffmanTree()
66     tree.create(char_data)
67     tree.get_leaves(tree.root, "")
68     return tree.code