图像的傅里叶变换

有点悲剧，在快编辑完了的时候不小心点到舍弃，结果一下午字白打了。

傅里叶变换被称为数学中的棱镜，可以将函数分解为频率不同的正弦函数和余弦函数的组合。而图像处理中的傅里叶变换一般专指二维离散傅里叶变换，它可以将图像从空间域变换到频域，拥有很多优良的特质，如线性、对称、平移、卷积等。在此，我们对于一维以及连续的傅里叶变换不做描述，只说二维离散傅里叶变换。

二维离散傅里叶变换

人们一般都在空间域来描述图像，即通过二维空间坐标上的灰度值来表征出图像的形状、纹理、尺寸等特征，这也是最为直观且被人所接受的图像表达方式。而傅里叶变换的出现给了图像分析一个全新的角度：频域。在二维图像角度，频率的高低表征的是原图灰度的变化剧烈程度，也就是空间域中所指的梯度。背景区域等灰度变化缓慢的区域，梯度较低，处于频域中的低频部分，边缘、噪声等灰度变化快的区域，梯度较高，处于频域中的高频部分。一般的图片低频的内容会占大多数部分。

二维离散傅里叶变换公式：

其中F（u，v）为傅里叶变换结果，u和v为频率分量，f（x，y）为原图，M和N为图像的宽度和高度。

特例：当u,v均为0时，F（0，0）的值为原图f(x,y)的均值，虚部为0，被称之为直流分量。

计算得到的结果为复数，分为实部和虚部，图像处理中一般求取其模（频率幅值），并反向投影回以u,v为坐标轴的二维空间进行分析。

|F（u，v）|  = sqrt（R（u，v）^2+I（u，v）^2）

其中R（u，v）和I（u，v）分别为实部和虚部。

由于求取的频率幅值跨幅巨大，并不适合直接反向投影回二维图像空间来观察，所以一般会将结果求取对数，将结果从线性尺度变换到对数尺度：

D（u，v） = log（1+|F（u，v）|）

再进行归一化后即可以灰度值的方式直观的看到幅值的高低变化，即图像的频谱图。

另外，基于傅里叶变换的对称性，为了便于观察频谱图，一般会将原点F（0，0）平移到图像中心，使得低频区域位于图像中部，高频区域位于图像外围。

实现方式有两种：

（1）：将原图f(x,y)乘以（-1）^（x+y）后再做傅里叶变换

（2）：直接做傅里叶变换，之后将频谱图以N/2，M/2为线划分成四个区域，位于对角线的两两区域对调位置，如图：

一张图像在变换到频域后的成分分布可以参考下图：

傅里叶变换在图像处理中的应用

个人能想到的利用场景有如下：

1.图像去噪

正如前文所述，大部分的噪声是位于图像的高频区域，所以，利用低通滤波器来过滤图像噪声是图像去噪的一个重要手段。另外，一些周期噪声反映到频谱上会呈现出孤立的亮点，利用傅里叶变换可以轻松的将这种噪声过滤掉，如下图所示：

2.简化卷积运算

利用傅里叶变换的卷积特性（即空间域中的卷积等于频域的点积，频域的卷积等于空间域的点积），可以有效的简化空间域中的卷积运算，如各类滤波器的卷积操作等，在变换到频域后采用与该滤波器等价的频域函数进行点积运算，再反傅里叶变换回空间域即完成了空间域中的卷积运算。

3.寻找直线轮廓

空间域中的直线在变换到频域后会呈现出一条与之垂直的高亮直线（有时也可能不那么明显），利用这个特性可以找到原图中疑似直线的轮廓及其角度（以前有做过一个项目就通过傅里叶变换来进行图像的倾斜矫正），效果图：

lena的帽檐在频谱图中对应了一条与之垂直的亮线。

4.图像压缩

如上文所述，图像的大部分信息集中在频域的低频部分，所以图像的压缩、提萃也是可以用到傅里叶变换的。

最后推荐个视频，可以帮助理解下傅里叶变换：

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