OpenSSL密码库算法笔记——第 3.3章 模逆
在模运算中，一般没有直接做模除法。模除法a/b mod m都是先计算模逆t＝b－1 mod m，再计算模乘at mod m。因此本节就来讨论模逆运算该怎样实现。
求模逆的算法主要是扩展欧几里德算法。该算法的大意如下。
假设计算
。算法通过反复迭代
和
（A、C、d、e为某些待定数）而得出，这里的迭代主要是做乘法和减法。
算法的步骤大概是这样的。开始的时候先进行初始化——取A＝1，d＝0，C＝0，e＝1，得到：
…………（3.2）
然后反复做如下迭代（为了记号的方便，迭代过程中始终让u≥v，否则，交换<1>、<2>两式）：
- 取
； - 新的<1>式 ← 老的<2>式；
- 新的<2>式 ← 老的<1>式－q×老的<2>式；
如此迭代，直到v＝0为止。最后得出
，注意最后得出的A可能是负数（比如下面举的例子就是这样），此时只需要加上m即可。
下面给出用扩展欧几里德算法计算的详细描述。算法中出现的符号和上面的介绍一致，新增加的三个变量t1,t2,t3为临时变量。算法可参见[2，§4.5.2算法X]。
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以上是一般情况下的扩展欧几里德算法。如果模数m为奇数（为了以示区别，记此时的奇模数为p），算法可以变的更加简单快捷——利用反复的右移（即除2）来代替除法。
下面来看看这个特殊的算法怎样计算
，这里的p为奇数。（也可参见[9，算法8]）。
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下面介绍的求模逆的C程序综合利用了以上两种算法：当模数是奇数而且字长小于450时，利用特殊的扩展欧几里德算法——模数为奇数的扩展欧几里德算法来进行计算，如果模数不满足这个条件，就用一般的扩展欧几里德算法来进行计算。
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BIGNUM *BN_mod_inverse(BIGNUM *in,const BIGNUM *a, const BIGNUM *n)
功能： 求模逆
输入： a【被模数】，n【模数】
输出： in ← 1/a mod n
返回： in【正常】 or NULL【出错】
出处： bn_gcd.c
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有一个特殊的模逆函数BN_mod_inverse_no_branch，它利用一些特殊的方法来防止信息泄漏，抵抗能量攻击。其算法思想类似普通的扩展欧几里德算法，但其中间用了点小技巧以防止信息泄漏，详细情况请参见原函数。
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static BIGNUM *BN_mod_inverse_no_branch(BIGNUM *in, const BIGNUM *a, const BIGNUM *n)
功能： 用抗能量攻击法求模逆
输入： a【被模数】，n【模数】
输出： in ← 1/a mod n
返回： in【正常】 or NULL【出错】
出处： bn_gcd.c
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