学习笔记-滤波器的系数
滤波器系数的获得有三种方式，一是根据公式计算得出；二是使用MATLAB的FDAtool设计得到；三是使用MATLAB的函数得出。
（一）公式推算
无限冲激响应数字IIR滤波器的设计步骤：
（1）将数字滤波器的技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；
（2）设计模拟低通滤波器G(s)；
（3）将G(s)转换成H(z)；
例如，设计低通滤波器，要求采样频率Fs=500Hz，fp=100Hz，在通带内最大衰减ap=3dB，在fs=120Hz最小衰减as=20dB。
第一步，①通过w= 2*pi*f/Fs将上述fp、fs转换成wp、ws；②再通过omega= tan(w/2)转换成omegap、omegas；③归一化lambdap =omegap/omegap，lambdas = omegas/omegap；
第二步，得出所求滤波器的阶数N = lg(sqrt((10^(as/10)-1)/(10^(ap/10)-1)))/lg(lambdas)，向上取整；
第三步，得到模拟低通滤波器的转移函数G(s)：①首先归一化后的转移函数G(P)，Pk=exp(j*(2K+N-1)*pi/(2N))，Gk(P)=1/(P^2-2P*cos((2K+N-1)*pi/(2N)))；若N是偶数，G(P)=G1(P)*G2(P)*……*G(N/2)(P)，是N/2个Gk(P)连乘；若N是奇数G(P)=(1/(P+1))*G1(P)*G2(P)*……*G((N-1)/2)(P)，是(N-1)/2个Gk(P)连乘与一个一阶系统相级联；②去归一化，利用P=s/omegap，将G(P)转换成G(s)；
第四步，使用双线性z变换法得到数字滤波器H(z)：利用s=(z-1)/(z+1)，将G(s)转换成H(z)；
备注 如果是带通或者是高通等数字滤波器，在第一步的③归一化时，需要omegaBW = omega3-omega1，eta = omega/omegaBW；lambdap = 1；lambdas = abs(min(abs( etasl-eta1*eta3/etasl ),abs(etash-eta1*eta3/etash)))；还有在第三步的②，去归一化，利用P=(s^2+omega1*omega3)/(s(omega3-omega1))，将G(P)转换成H(s)。
（二）FDAtool设计
1、MATLAB命令输入fdatool，打开设计工具；
2、设计数字IIR低通滤波器，设定阶数specify order为20阶，采样平率Fs为500Hz，Fc为100Hz。
3、点击design filter，
显示的是幅频响应magnitude response，可以变化一下显示界面，选择滤波器系数filter coefficients，
此时显示的系数是二阶级联情况下的系数，在Edit中选择转换convert to single section，
Z系统下的系数，numerator是分子系数，Denominator是分母系数，依次为z的0次方、z的-1次方、z的-2次方……。
4、保存系数。在targets下选择生成C的头文件generate C header...。
按照个人习惯命名变量，以单精度保存数据，generate。
5、按照H(Z)的系数与data计算得出滤波后的数据。
（三）MATLAB函数
fp=100;fs=120;Fs=500;
rp=3;rs=20;
%
wp=fp*2*pi/Fs;ws=fs*2*pi/Fs;
% Firstly to finish frequency prewarping;
[n,wn]=buttord(wp/pi,ws/pi,rp,rs);
n=20;
[bz,az]=butter(n,wp/pi);
%
[bz1,az1]=butter(n,wn);
%
[h,w]=freqz(bz,az,128,Fs);
[h1,w1]=freqz(bz1,az1,128,Fs);
plot(w,abs(h),w1,abs(h1),'g.');grid on;
上述数字低通滤波器，其中bz,az就是系数，n为阶数。