无线通信基础（二）：高斯噪声中的检测

1. 标量检测

  考虑在实AWGN信道中，
$$y=u+w$$其中$u$为发送符号，等概率地取$u_{\mathrm{A}}$和$u_{\mathrm{B}}$($u_{\mathrm{A}}>u_{\mathrm{B}}\in \mathcal{R})$，$w\sim \mathcal{N}(0,N_0/2)$为实高斯噪声。
  根据最大后验概率准则，如果
$$\mathcal{P}\{u=u_{\mathrm{A}}|y\}>\mathcal{P}\{u=u_{\mathrm{B}}|y\}$$则认为发送的是$u_{\mathrm{A}}$。由于0、1等概，因此最大后验概率准则等同于最大似然（ML）准则，即
$$\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}\exp (-\frac{(y-u_{\mathrm{A}}{)}^2}{N_0})>\frac{1}{\sqrt{\pi N_0}}\exp (-\frac{(y-u_{\mathrm{B}}{)}^2}{N_0}).$$
进一步简化，有
$$|y-u_{\mathrm{A}}|<|y-u_{\mathrm{B}}|.$$因此，错误概率为
$${\mathrm{P}}_{\mathrm{e}}=Q(\frac{|u_{\mathrm{A}}-u_{\mathrm{B}}|}{2\sqrt{N_0/2}}).$$显然，错误概率只与$u_{\mathrm{A}}$和$u_{\mathrm{B}}$之间的距离有关。

2. 向量空间中的检测

  现在考虑需要检测的是向量$\mathbf{u}$，它等概率地取${\mathbf{u}}_A$和${\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}$（${\mathbf{u}}_{\mathrm{A}},{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}\in {\mathbb{R}}^n$）。此时接收向量为
$$\mathbf{y}=\mathbf{u}+\mathbf{w},$$这里$\mathbf{w}\sim \mathcal{N}(0,\frac{N_0}{2}\mathbf{I})$。类似地，根据ML准则，如果
$$\frac{1}{(\pi N_0{)}^{n/2}}\exp (-\frac{||\mathbf{y}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}|{|}^2}{N_0})<\frac{1}{(\pi N_0{)}^{n/2}}\exp (-\frac{||\mathbf{y}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}|{|}^2}{N_0})$$则选择${\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}$，即
$$||\mathbf{y}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}||<||\mathbf{y}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}||.$$因此，错误概率为
$${\mathrm{P}}_{\mathrm{e}}=Q(\frac{||{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}||}{2\sqrt{N_0/2}}).$$

3. 复向量空间中的检测

  接收复向量为
$$\mathbf{y}=\mathbf{u}+\mathbf{w},$$其中$\mathbf{u}$等概率取${\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}$以及${\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}$（${\mathbf{u}}_{\mathrm{A}},{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}\in {\mathbb{C}}^n$），$\mathbf{w}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,N_0\mathbf{I})$。我们将其变换为实向量来进行处理。设
$$\mathbf{u}=x({\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}})+\frac{1}{2}({\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}+{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}),$$显然，如果$x=\frac{1}{2}$，则$\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}$；若$x=-\frac{1}{2}$，则$\mathbf{u}={\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}$。因此我们的检测任务就变成了检测实标量$x$。
  下面我们定义向量
$$\mathbf{v}:=\frac{{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}}{||{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}||},$$显然，$\mathbf{v}$为沿着${\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}$方向长度为1的向量。进一步，我们将向量${\mathbf{y}}^{\prime }=\mathbf{y}-\frac{1}{2}({\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}+{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}})$映射到$\mathbf{v}$上，有
$$\tilde{y}=<{\mathbf{y}}^{\prime },\mathbf{v}>=<\mathbf{v},{\mathbf{y}}^{\prime }>={\mathbf{v}}^{\mathrm{H}}{\mathbf{y}}^{\prime }.$$
由于
$${\mathbf{y}}^{\prime }=\mathbf{y}-\frac{1}{2}({\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}+{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}})=x({\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}})+\mathbf{w},$$因此
$$\tilde{y}=x||{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}||+w,$$其中$w\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,N_0)$。由于$x$为实数($x=\pm \frac{1}{2}$)，故可以取$\tilde{y}$的实部进行检测，即
$$\mathcal{R}[\tilde{y}]=x||{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}||+\mathcal{R}[w]，$$其中$\mathcal{R}[w]\sim \mathcal{N}(0,\frac{N_0}{2})$。因此误码率为
$${\mathrm{P}}_{\mathrm{e}}=Q(\frac{||{\mathbf{u}}_{\mathrm{A}}-{\mathbf{u}}_{\mathrm{B}}||}{2\sqrt{N_0/2}}).$$

  如果接收复向量为
$$\mathbf{y}=\mathbf{h}x+\mathbf{w}$$其中$\mathbf{h}$为确定向量，$\mathbf{w}\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,N_0\mathbf{I})$。我们可以定义沿着$\mathbf{h}$方向长度为1的向量
$$\mathbf{v}:=\frac{\mathbf{h}}{||\mathbf{h}||},$$并将$\mathbf{y}$映射到$\mathbf{v}$上去，可以得到
$$\tilde{y}={\mathbf{v}}^{\mathrm{H}}\mathbf{y}=||\mathbf{h}||x+w,$$其中$w\sim \mathcal{C}\mathcal{N}(0,N_0)$。如果$x$在实数轴上，则有
$$\mathcal{R}[\tilde{y}]=||\mathbf{h}||x+\mathcal{R}[w]，$$这里$\mathcal{R}[w]\sim \mathcal{N}(0,\frac{N_0}{2})$。
  对于双极性情况，如果$x=\pm a$，则有错误概率为
$${\mathrm{P}}_{\mathrm{e}}=Q(\frac{a||\mathbf{h}||}{\sqrt{N_0/2}}).$$