希尔伯特：数学世界的亚历山大（2009-06-11 21:33:43）



希尔伯特：数学世界的亚历山大——出版说明
自中西文明发生碰撞以来，百余年的中国现代文化建设即无可避免地担负起双重使命。梳理和探究西方文明的根源及脉络，已成为我们理解并提升自身要义的借镜，整理和传承中国文明的传统，更是我们实现并弘扬自身价值的根本。此二者的交汇，乃是塑造现代中国之精神品格的必由进路。世纪出版集团倾力编辑世纪人文系列丛书之宗旨亦在于此。

世纪人文系列丛书包涵“世纪文库”、“世纪前沿”、“袖珍经典”、“大学经典”及“开放人文”五个界面，各成系列，相得益彰。
“厘清西方思想脉络，更新中国学术传统”，为“世纪文库”之编辑方针。文库分为中西两大书系。中学书系由清末民初开始，全面整理中国近现代以来的学术著作，以期为今人反思现代中国的社会和精神处境铺建思考的进阶；西学书系旨在从西方文明的整体进程出发，系统译介自古希腊罗马以降得经典文献，借此展现西方思想传统的生发流变过程，从而为我们返回现代中国之核心问题奠定坚实的文本基础。与此呼应，“世纪前沿”着重关注二战以来全球范围内学术思想的重要论题与最新进展，展示各学科领域的新近成果和当代文化思潮演化的各种向度。“袖珍经典”则以相对简约的形式，收录名家大师们在体裁和风格上独具特色的经典作品，幽默发微，意趣兼得。

“大学之道，在明明德，在新民，在止于至善”（《大学》）。温古知今，止于至善，是人类得以理解生命价值的人文情怀，亦是文明得以传承和发展的精神契机。欲实现中华民族的伟大复兴，必先培育中华民族的文化精神；由此，我们深知现代中国出版人得职责所在，以我之不懈努力，做一代又一代中国人的文化脊梁。
上海世纪出版集团
世纪人文系列丛书编辑委员会
2005年1月

希尔伯特：数学世界的亚历山大——序,译后记
http://www.docin.com/p-47597727.html
这本书的大部分内容是根据回忆写成的。
许多在希尔伯特门下取得博士学位的先生和女士给了我非常友好的帮助，他们是：V.勒贝捷夫·米勒(Veva Lebedeff-Myller，1906)，R.哥尼克(Robert Konig，1907)，A．斯盘瑟(Andreas Speiser，1909)，R．库朗(Richard Courant，1910)，H.斯坦豪斯(Hugo Steinhaus，1911)，P.丰克(Paul Funk，1911)，L．夫泼尔(Ludwig Fuppl，1912)，H．克内索(HeUmuth Kneser，1921)，H.格里(Haskell Curry，1930)，A.史密特(Arnold Schmidt，1932)，K．舒特(Kurt Schutte，1934)。
另有一些已经去世的学生写的回忆录对我也是一种巨大的帮助。在这里，我特别感激0.布鲁门萨尔(Otto Bhumaenthal，1898)，他曾为希尔伯特全集写了一篇纲要性的传记，还为纪念希尔伯特60寿辰而出版的《自然科学》(Naturalscience)专刊写过一篇小传；我也同样感激H．外尔(Hermann Weyl，1908)，他曾给皇家学会写了讣告，他的文章《大卫·希尔伯特和他的数学工作》已收进本书。
也许，R．库朗和P．贝尔奈斯(Paul Bernays)对我的帮助最为有益，因为他们跟希尔伯特交往的时间最长，关系也最密切。库朗自1919-1933年一直是希尔伯特的同事，在其间的大部分时间里，库朗还担任数学研究所所长；贝尔奈斯在1917年到1934年间是希尔伯特研究逻辑和数学基础的助手和合作者。
在希尔伯特过去的物理助手中间，A．兰德(AlfredLande)，P．爱瓦尔德(PaulEwala)，A．克拉采(Adolf Kratzer)和L．诺德海姆(LotharNordheim)慷慨地为本书献出了他们的时间和知识。我要特别感谢爱瓦尔德教授，他提出了许多关于如何对希尔伯特的生活进行文学论述的意见。我还访问了一些人，他们虽然不是希尔伯特的学生，但都在不同的时期跟哥廷根学派有过密切的联系，他们给了我许多有关希尔伯特的情况。这些人包括：H.勒威(Hans Lewy)，A.奥斯特洛夫斯基(Alexander Ostrowski)，G.波利亚(George Polya)，B.瑞利希(Brigitte Rellich)，C．L.西格尔(Carl Ludwig Siegel)，G．赛格(GaborSzego)，O．陶斯基-托特(OlgaTaussky-Todd)，J．范·德·戈毕脱(JanvailderCorput)，B.L．范·德·瓦尔登(B．L．Van der Waerden)，E.魏伊尔-巴(Ellen Weyl-Bar)，K.里德迈斯特(Kurt Reidemeister)和E.里德迈斯特(Elizabeth Reidemeister)以及H.哈斯(Helmut Hasse)。他们的来信描述了希尔伯特晚年的生活。
除了贝尔奈斯教授之外，A.塔斯基(Alfred Tarski)和K.哥德尔(Kurt Godel)也回答了我提出的有关希尔伯特在逻辑和基础方面工作的问题。
我很感激路登堡夫人(Lily Rudenberg)和R．博施克(Ruth Buschke)，他们欣然允许我引用他们的父亲H.闵可夫斯基(Hermann Mmkowski)，写给希尔伯特的信。希尔伯特和闵可夫斯基有着多年亲密的友谊。希尔伯特的回信于1933年由闵可夫斯基夫人送回给了希尔伯特夫人，不幸的是，据我所知，这些信件已不复存在。本书中有几处引及希尔伯特给闵可夫斯基的书信，那是取自布鲁门萨尔为希尔伯特全集写的传记，由于要为希尔伯特写小传，他有幸读到过那些信。
希尔伯特堂兄弟的儿子霍斯特·希尔伯特(Horst Hilbert)提供了许多有关希尔伯特家族的详细材料。普鲁士文化遗产基金创建的机密国家档案馆的J．K.冯·施罗德(J．K.von Schroeder)找出了生动的统计资料。本田欣哉(Kinya Honda)把他写的希尔伯特简传译成英文，供我使用。卡萨克森州国立大学图书馆馆长H.福格特(H．Vogt)从克莱因和赫维茨的文件中找到了希尔伯特写的一些信。数学研究所的现任所长M．克内泽尔(Martin Kneser)为我在研究所内准备了办公室，并让我参阅了希尔伯特的文件。研究所的秘书U.德鲁兹(Ursula Drews)也给我提供了种种帮助。I．纽曼(Irma Neumann)，其母多年任希尔伯特家的管家，给我提供了希尔伯特家的相片。
我还要特别感谢下面几位：我的妹妹J．罗宾孙(Julia Robinson)，她一直对我的工作关怀备至，给我忠告、帮助和勇气；V.施特拉森(Volker Strassen)，他给我介绍了哥廷根和它的数学传统；H.劳伦茨(Hrsula Lawrenz)，C．施特拉森(Cllrista Strassen)和E.弗里德(Edith Fried)，他们给我增补了德国和德文的知识。
我非常高兴本书将由斯普林格出版社出版，该社跟希尔伯特和哥廷根有过紧密的联系，在第一次世界大战后，它曾冒着风险从事出版事业，为复兴德国的科学作出了本质性的贡献。
在本书的写作过程中，曾蒙以下各位阅读了手稿：P．贝尔奈斯，R．库朗，P．爱瓦尔德，L.诺德海姆，J．罗宾孙，R．M．罗宾孙，V.施特拉森，G.赛格，J.爱迪生和M.玻恩。
尽管有如此大量的帮助，书中仍难免有不妥之处，都应由我自己负责。
康斯坦丝·瑞德
1969年8月3日
旧金山，加利福尼亚

希尔伯特：数学世界的亚历山大——译后记
“大卫·希尔伯特是他那个时代真正伟大的数学家之一。他的工作和他从事科学事业的那种感人品格，一直深深地影响着数学科学的发展，今天依然如此。作为一个数学思想家，他眼力深邃、精力充沛、富于独创；他多才多艺、兴趣广泛；这一切使他成为许多数学领域的开拓者。他确是个出类拔萃的人物：深深地埋头于他的工作，把一切献给他的科学。他又是最好的教师和领头人：待人豁达开明，诲人不倦，有一股不达目的绝不罢休的劲头。”这段话引自《希尔伯特》初版时由理查德·库朗写的前言；新出的哥白尼版，没有收入这个前言，而代之以作者康斯坦丝·瑞德的“重读《希尔伯特》之遐想”。哥白尼版与原来版本的另一些不同之处是在第一章的末尾加了一段：“关于希尔伯特出生地的注”；第十章介绍23个数学问题的部分换了写法；其余正文的内容未作变动。
《希尔伯特》中文版由上海科学技术出版社于1982年出版。
当时，我们的翻译工作得到了北京大学吴允曾教授的巨大帮助，这是我们终身难忘的：我们两个译者每人分担一半章节，每译完一章，便到吴先生的住所读给他听。他一面听、一面对照原版书看，用这种方式帮我们修正和改进译文。这次重版中译本，出版社要求我们根据哥白尼版重新校订一遍，可惜吴允曾先生已于1987年过世，我们无法再次聆听他的教诲。
在中文版问世后，我们收到过出版社转来的读者对译文的评价，印象最深的是香港萧文强先生的来函，其中指出了译文中若干值得商榷之处。这次校订我们就采纳了他的一些建议，特此致谢。
译者[袁向东,李文林]
1999年12月

 

哥白尼版的作者——康斯坦丝·瑞德的简介：
美国传记作家，也是一个数学爱好者，但决非是数学专业工作者。她先后为哥廷根的希尔伯特和纽约的库朗撰写传记，这些作品具有独特风格，早已脍灸人口。在获得成功后，瑞德愿意继续在这片土地上耕耘，她把目光转向了奈曼。奈曼是现代统计学领域的泰山，他是这样的一位科学家，他的个性和活力构成了其整个科学活动的不可或缺的一部分。因此，他的生平就特别适宜由瑞德来撰写。于是，作者和传主就有了完美的结合，在写作过程中，瑞德曾与奈曼广泛交谈，并查阅了大量奈曼的个人信件和专业文件。虽然奈曼未能亲眼见本书行世，但他活在这本书里。

希尔伯特：数学世界的亚历山大——第二章良师·益友
希尔伯特很幸运。他的家乡虽然远离柏林这个文化中心，但那里的哥尼斯堡大学是一所具有优良科学传统的大学。高斯时代欧洲仅次于高斯的数学家雅可比就曾执教于此。1880年秋，希尔伯特一进大学就发现大学的生活和预科学校的严格校规有着天壤之别，简直是要多自由就有多自由：教授们想教什么课就教什么课，学生们想学什么就选什么课上，这里不规定最少必修课的数目，不点名，平时也不考试，直到为取得学位才考一次。意想不到的自由使许多学生把大学第一年的时间全花到了饮酒和斗剑上——这些是学生互助会的传统活动。不过，这对于18岁的希尔伯特来说，这种自由却为他提供了专心攻读数学的良好条件。在他心目中，对他将来的职业从没有过丝毫动摇。他父亲虽然坚持让他学习法律，可他却不顾父亲的反对报名学了数学。当时经过19世纪前半叶的发展，数学这株枝叶繁茂的大树，在一些前辈数学家的精心修剪下已经形整貌美。在大学的第一学期，希尔伯特听了积分学、矩阵论和曲面的曲率论三门课，根据惯例，学生在第二学期可以转到另一所大学听讲，他选择了海德尔堡大学。在海德尔堡，希尔伯特选听了著名的拉撒路·富克斯的课，这位先生的课别具一格——他课前不大做准备，课堂上习惯于把自己置于险境：对要讲的内容现想现推，好让学生得到瞧一瞧数学思维的实际过程的一个机会。这种“现想现推”式的数学成了希尔伯特终生难于忘怀的教益。接下去的一学期，本来允许希尔伯特再转往柏林听课，但他深深地依恋着他出生的家乡，于是他毅然返回了哥尼斯堡大学。1882年春季，当他再次决定留在家乡的大学的时候，年仅17岁的赫尔曼·闵可夫斯基已在柏林学习了三个学期后回到了哥尼斯堡。年轻的闵可夫斯基当时胸怀壮志，完全沉浸在一项很深奥的研究之中，他希望以此赢得巴黎科学院的数学科学大奖。那年巴黎科学院出榜征解的题目是：将一个数表示成5个平方数之和。闵可夫斯基的研究结果大大超过了原问题。科学院接收答案的截止日期到了，按照竞赛的要求，文章非译成法文不可，而闵可夫斯基的文章却来不及译成法文了。事已如此，他还是决定投搞应征。在最后一刻，他听从了大哥麦克斯的建议，在文章开头写了一个短短的附注。他在附注中解释道：因为数学问题本身强烈地吸引着他，致使他疏忽了竞赛规则；他并表示希望，科学院不会以为“假如我少给了些什么，实际我给出了更多的东西。”1883年春，比赛揭晓后，刚满18岁的闵可夫斯基果然同英国著名的数学家亨利·史密斯共享了这份大奖。此情此景，希尔伯特看在眼里，喜在心头。他不顾父亲的反对，很快和这个与自己家庭背景不同的年青人成了朋友。希尔伯特比闵可夫斯基大3岁，两个人的性格在许多方面极不相象。闵可夫斯基十分腼腆、略有些口吃。这使他与任何一个学数学的同学很难在第一年里就建立起亲密的友谊。但是他们两个人的心是相通的，他们都深深地爱数学，而且都怀有一种深沉的乐观主义。尽管当时许多人对一般的科学抱有极度悲观的看法，认为某些问题无论如何是无法解答的。但是希尔伯特和闵可夫斯基却早已确信“每一个确定的数学问题必定能得到一个准确的答案：或者给所提问题以实际的肯定回答；或者证明问题是不可解的，因为所有企图证明它成立的努力必然失败。”1884年春天，年仅25岁的阿道夫·赫维茨从哥廷根到哥尼斯堡任副教授，他像闵可夫斯基一样，也享有数学天资早熟的盛名：在预科学校上学时，他的老师汉尼巴尔·舒伯特十分欣赏他的数学才能，所以常在星期天专门向赫维茨传授自己擅长的学问——后来人们称之为“舒伯特演算”。在舒伯特的鼓励下，赫维茨的父亲从朋友那借来钱供儿子继续上学。后来赫维茨在菲力克斯·克莱因的门下获得了博士学位。希尔伯特发现新老师的外表“谦恭、朴实”，而“他那双闪耀着聪慧和快意的眼睛，就像是他精神的映照”。希尔伯特和闵可夫斯基很快就与赫维茨建立了密切的关系。每天下午“准五点”，三个人必定相会“去苹果树”下散步。这种学习方法对希尔伯特来说，要比钻在昏暗的教室或图书馆啃书本好了不知多少倍。日复一日的“散步”中，他们全都埋头于讨论当前数学的实际问题，他们之间相互交换对问题新近获得的研究体会，交流彼此的想法和研究计划，他们以这种最悠然有趣的学习方式，考察着数学世界中的各个王国。赫维茨有着广泛“坚实的基础知识，又经过很好的整理，”所以他是理所当然的领头人，并使其他两位心悦诚服。从那时起，他们之间就结下了终身的友谊。亚历山大曾对人报怨说：“父王将会征服一切，再没有什么留给我们去攻克。”但是，希尔伯特他们没有亚历山大的担忧，因为：数学这个世界是无穷无尽的。

希尔伯特：数学世界的亚历山大——第五章果尓丹问题
希尔伯特果断地决定，作为一名讲师，他所选择的课目除了教育学生，也要教育自己。跟许多讲师不同，他还决定不教重复的课，同时，在每天去苹果林散步的那段时间，他和赫维茨为他们自己确立了一个目标：“系统地勘查”数学。
第一学期，他准备教不变量理论、行列式论和流体动力学。最后一门课是闵可夫斯基建议他开的，闵可夫斯基当时正在波恩为取得讲师资格而奋斗，并对数学物理颇感兴趣。可是，没有多少人有幸乘此最早的机会去听希尔伯特的课。只有选听他的不变量理论课的学生的数目，达到了学校规定的开课标准。“学生就这么些，可是有十一个讲师都要只靠他们，”希尔伯特向闵可夫斯基忿忿地抱怨道。为了纪念他的这个新职位，他照了一张标准像，从照片上看到的是一个戴眼镜的年轻人，胡子有点零乱，头发已变稀薄，神态看起来就好像他正在追求着什么。在波恩，闵可夫斯基有他自己的麻烦事。他照不到一个意气相投的讲师，而那位数学教授一直在生病。“别人不在倒无所谓，他缺席就不一样了。他是我在这里唯一能请教数学问题的人，或者说，我多少还能跟他讨论讨论数学问题。”总之，只要一有机会，他就会返回柯尼斯堡，重新加入希尔伯特和赫维茨每天去散步的行列。做讲师的第一年，希尔伯特没有出外旅行，过去，他一直很乐观地计划做这种旅行，以弥补柯尼斯堡给他带来的偏僻感。这段在家乡城市度过的“安稳”日子，将作为他“慢慢成长”的岁月留在他的记忆中间。第二学期，他讲授了第一学期想开设而没能开的课：行列式论和流体动力学。他还开始计划讲球面调和函数以及数值方程。尽管讲课的题目不断变化，他自己发表的工作可仍然全是关于代数不变量的；不过，他也关心着其他领域当前所讨论的问题。
1888年开始的时候，他终于感到万事俱备，可以去进行他那期待已久的旅行了。他选好的旅行路线，使他能顺路访问21位杰出的数学家。3月份他出发了。在给闵可夫斯基的信中，他开玩笑地把自己叫做“熟悉不变量理论的封臣”。现在，他首先要去埃尔兰根：“不变量之王”在那儿接受觐见。
保罗·果尔丹在当时的数学家中间是很突出的人物。他比希尔伯特大25岁，很晚才从事科学事业。他的父亲是个商人，虽然认识到儿子有非凡的计算能力，但久久不承认他的数学才能。果尔丹的片面和任性，在数学史上留下了消极的印痕；不过，他聪慧机敏，很重友谊，对年轻人犹如父兄。散步是他生命的要素。果尔丹搞这个理论的时候，正值这一理论进到了一个新的发展水平，这是果尓丹的好运气。这个理论发展的初期，是去确立不变量结构所服从的规律；其次一个被关心的问题是不变量的有规则的产生和枚举，这就是果尓丹研究的内容。有时候，他写出的一篇文章全是公式，竟长达20页。“公式对于他的想法、他的结论和他的表达方式的形成都是必不可少的。”后来有一位朋友这样评论他。不管怎么说，果尓丹在发明和使用形式代数方法方面的能力是不容忽视的。他以突破一个著名的不变量问题开始了他的科学生涯，因此荣获了不变量之王的头衔。为了纪念他，一个更一般的、仍未解决的、目前成为该理论中最著名的问题，被命名为“果尔丹问题”。在巴黎，埃尔米特同希尔伯特以及斯塔迪讨论的就正是这一问题。多少世纪前代数是从“解出x”发端的，而今“果尔丹问题”跟“解出x”相比，已经面目全非了。这是一个精致的“纯粹数学”问题，它不是由物理世界提出而是从数学本身产生的。到那时，所有不变形式的内部结构已经被搞清楚。尽管还有某种程度的含糊和烦琐之处，但人们能够写出并计算指定阶数和次数的各式各样的不变形式，至少在原则上是如此。接下去就产生了一个性质完全不同的问题，它涉及到全体不变量。问：是否存在一族基（即一组个数有限的不变量），使得其他所有的不变量（尽管它们的个数有无穷多）都能够用这组基的有理整形式表出？一段时期以来，希尔伯特已经熟悉了果尔丹问题；现在，他终于听到了果尔丹本人的讲述。他似乎体验到了一种过去从未有过的新境界。这个问题唤起了他那几乎无法思议的完美想象力。
正如希尔伯特本人后来所列举的那样，一个重大的富有成效的数学问题应具备下述的每一个特点：清晰性和易懂性（“因为清楚、易于理解的问题能吸引人的兴趣。而复杂的问题使人望而却步”）；困难的（“这才能引诱我们去搞它”）而又不是完全无从下手解决的（“免得我们劳而无功”）；意义重大（“在通向那隐藏着的真理的曲折路径上，它是一盏指路明灯”）。这个问题使他锲而不舍、怎么也放不下手。他离开了果尓丹，但是果尔丹问题陪伴着他上了火车，北上哥廷根去访问克莱因和许瓦尔茨。在离开之前，他针对果尓丹关于二次型的那个定理的著名证明，给出了一个更短、更简单也更直接的证明，根据当时一个美国数学家的说法，“当知道那煞费苦心得来的过去一直流行的果尓丹定理的证明，能够用另一个占不满四开本四页纸的证明所代替，确实令人愉快而惊讶！”希尔伯特离开哥廷根，继续向北到了柏林，去访问在柏林大学当教授的拉撒路斯·富克斯；还有赫姆霍兹；以及最近退休的魏尓斯特拉斯。然后他又重访了克隆尼克。……希尔伯特心里很看重这次和克隆尼克的交谈，因为他花了本子里整整四页纸来记录它，而其他被访问的数学家的谈话记录，包括果尓丹的，都没有超过一页。
他告别了克隆尼克，心里还在考虑着果尔丹问题。
回到哥尼斯堡之后，这个问题占据了他的整个身心，无论是在工作还是在娱乐，甚至在跳舞的时候——他喜欢参加舞会——他都在思考着它。8月，按老习惯他又到了劳兴镇；1888年9月6日，他从劳兴镇寄出一份短短的注记，寄给哥廷根科学会的《通讯》。在这篇注记中，他完全出人意料地开辟出一条全新的路径，表明如何用统一的方法对任意个变数的代数形式建立起果尔丹定理。谁也没料到，居然会宣布这个著名的老问题已获解决。所以，最初的反映几乎是完全不相信这项结果。“假如给定了无穷多个包含有限个变量的一组代数形式系，问在什么条件下，存在一组个数有限的代数形式系，使得所有其他的形式可以表成它们的线性组合，系数是原来那些变量的有理整函数？”
他最终得到的答案是：这样的形式系总是存在的。
这个轰动世间的关于不变量系有限基存在性的证明，其基础是一条引理，或者说是一个辅助定理，即关于模的有限基的存在性。“模”是希尔伯特在研究克隆尼克的工作时得到的一个数学概念。这条引理如此简单，看起来极其平凡。而果尔丹的一般性定理又可以从它直接导出。这件工作是体现希尔伯特思想之精神实质的第一个例子——他的一个学生把它说成是“一种自然的朴素思想，并非来自权威或过去的经验”。12月，果尓丹定理的证明出版了，希尔伯特火速给阿瑟·凯莱寄了一份。半个世纪前，凯莱给这个理论奠定了基础。为了证明不变系的基的有限性，实际上并不需要像果尓丹和所有其他人一直试图做的那样，把它们构造出来，甚至不必说明如何去构造它们。所需做的一切就是从逻辑的必然性方面去证明有限基必定存在，因为任何别的结论都会导出矛盾——这正是希尔伯特所做的。即使完成了1890年的那些工作，果尔丹问题还萦绕在他的心中。作为一名数学家，比起存在性证明来他还是更喜欢有一个实际的构造。正如有个数学家说的那样，“证明某类对象的存在性有两种办法，一是构造出这种对象的看得见摸得着的例子，一是去证明假如这种对象不存在就必然推出矛盾。两者之间有着本质的差别。在第一种情形，你有了一个有形的对象，而在第二种情形，你有的仅仅是矛盾。”为了老克隆尼克、果尓丹和其他人，他也一直乐于用构造性的方法来证明不变系之基的有限性。此刻，手头上却一点办法也没有。
在其后的两年间，他的工作开始发生了变化。代数数域的思想浇灌了他的心田。这回，又是克隆尼克的思想起了重要的作用。希尔伯特终于在这里发现了他一直在寻找着的强有力的新工具。1892年，他在一项关键性的工作中，讨论的正是为在实际上导出不变量的完全系所必须解决的问题。利用他早些时候证明的一条定理作为基础，他能够得到一个在本质上是有限的工具，用它来实现那长久寻找中的构造方法。
突然，在1892年，希尔伯特用他的结果结束了从凯莱开始一直被人们讨论着的不变量理论。后来的一位数学家写道：“整个理论的呼吸停止了。”
随着解决果尔丹问题，希尔伯特认识了自己，也找到了他的研究方法——钻研单个的重要问题，这个问题的解决其意义将远远超出问题本身。现在，某些完全没有料到的事情发生了。最初引起他兴趣的问题已经被解决。而他获得的是解放。
他以这样的词句，结束他最近写的一篇关于不变量的文章：“我相信，由不变量衍生出的函数域理论中最重要的目标已经达到。”在给闵可夫斯基的信中，他更斩钉截铁地宣布：“我将坚决地离开不变量领域。”

希尔伯特：数学世界的亚历山大——第六章转变
http://www.docin.com/p-47597727.html
注：这里的文字是网上流传的另一个版本的希尔伯特传记的第五章转变，红色文字为遗漏掉的文字
紧接着的3年间，希尔伯特在学术界的地位上升了，他做了大多数年轻人在这种年纪要做的一切事情：结婚、生孩子、接受重要的任命，他还做了一项决定，这项决定改变了他的生活进程。
在德国各大学中争夺学术职衔的竞争中，当了8年副教授的赫维茨接受了苏黎世瑞士联邦技术学院正教授提名。虽然这意味着那日复一日的数学散步即将结束，但赫维茨的位置却为希尔伯特打开了希望之门。
1892年8月，教授会一致决议：由希尔伯特接任赫维茨副教授的职位。希尔伯特那经济拮据的讲师生活终于到了头。他欣喜地将此晋升的消息写信告知闵可夫斯基，同时宣布了他举行婚礼的日子。
1892年10月12日，希尔伯特与比自己小两岁的克特·耶罗施举行婚礼。实际上希尔伯特和耶罗施家族有着亲戚关系。克特为人正直、坚强、贤惠，既体贴人又直率，还总有独创的见解，是希尔伯特理想的伴侣。

[希尔伯特则以给出了e和pi之超越性（e和pi的超越性首先为埃尔米特、林德曼所证）的新证明开始了这新的一年（1893）。]
随着职务和生活中私事的变迁，希尔伯特开始表现出一种新的数学兴趣，“从现在起，我要献身于数论”这是他在完成了最后一篇关于不变量的文章后曾经告诉过闵可夫斯基的。现在，他真的转向了这个新课题。
众所周知，是高斯把数的理论置于科学之巅。他把它描绘成“一座仓库，贮藏着用之不尽的能引起人们兴趣的真理。”希尔伯特则把它看作“一幢出奇的美丽又和谐的大厦。”像高斯一样，希尔伯特被数论迷住了。但尽管他们对数论的评论相似，他们所谈论的却是数论的两种不同的版本。
高斯称赞经典的数论，它溯源于希腊，讨论存在于自然数之间的关系。其中最重要的是素数间的关系。到了高斯时代，数的概念已经远远超出了自然数的范围。高斯本人是把数论的概念从有理“域”拓展出去的第一位数学家，他认为在有理“域”中，两个数的和、差、积、还有商（这一点，跟自然数的情形不一样）仍然属于有理数域。[他对形如a+bsqrt(-1)(a,b是有理数)的数加以同样的考虑。这些数组成的域就是代数数域，同样，形如a+bsqrt(2)的数也构成一个域，等等。它们都是被称为代数数论所研究的对象。]希尔伯特所称道的正是高斯开创的数论的新发展。
[把数论的内容推广到代数数域有一个最大的障碍。即在大多数代数数域中，算术基本定理不成立，——算术基本定理是说：任何一个数表成素数乘积的表示是唯一的。这个障碍最终为库莫尔所克服，他发明了“理想数”。从库莫尔开始，有两位数学家[按：克隆尼克和戴德金]经过完全不同的数学途径在代数数域内开展工作。]现在，他使用跟他打通攻克果尔丹问题之路差不多的办法，开始了在代数数域方面的工作，他返过头来思考基本概念，直到得出解决办法。他的第一篇关于新课题的论文，给出了域内整数分解成素理想数的唯一分解定理的另一个证明。
希尔伯特一直很难安心于他的新境遇：作一个有薪水。有妻子的副教授。因为这里又有了让人欣喜的消息：林德曼已经接受了慕尼黑大学的邀请，将要离开哥尼斯堡。不久，年仅31岁的希尔伯特接任了林德曼的教授职衔，这也为闵可夫斯基由波恩返回哥尼斯堡接任希尔伯特的副教授之职带来了良机。但是直到1894年春天，闵可夫斯基才在希尔伯特的帮助下摆脱了波恩方面的阻挠，回到了哥尼斯堡。每天在苹果园中散步以及关于数论的讨论终于又重新愉快地开始了。
希尔伯特的新家万事如意，井井有条。1893年8月11日，他的第一个孩子在海滨胜地克拉兹出世了，他给儿子起名叫弗朗士。
此后几星期，希尔伯特到慕尼黑参加了德国数学会年会。这个学会是最近才由包括希尔伯特在内的一群数学家筹建起来的，其目的是为了使不同的数学分支之间有更多的交流。会上，希尔伯特提出了关于将一个域中的数分解成素理想数的两个新证明。虽然他刚刚开始发展代数数论方面的工作，但他的能力显然深深打动了其他成员。学会有一项计划，要按年发表不同数学领域的综述性文章。现在，经大家公认请希尔伯特和闵可夫斯基在两年内准备一篇数论发展现状报告。这样紧急地指定这项任务，是因为库莫尔、克隆尼克和戴德金的革命性工作极其复杂，以至当时大多数数学家依旧无法理解它。现在人们期待希尔伯特和闵可夫斯基来改变这种状况，这种期待不仅是对他们的数学能力的称颂，也是对他们具有简明和清晰的数学表达力的赞赏。

随着闵可夫斯基在1894年返回哥尼斯堡，希尔伯特感到心满意足，因为再不能有更好的合作者来一起写这份年度报告了。现在，年度报告在希尔伯特心中开始成形。对一个年轻数学家来讲，干数学会分派的任务，也许是一件不受欢迎的零活，但希尔伯特并不这样认为，他已经用自己的工作表明，他对把互反律推广到代数数域特别感兴趣。目前，他自愿把这些计划搁置一边，而要在写这份指定的报告时看准机会为更深入的研究打下必不可少的基础。虽然他俩不喜欢靠书本来做学问，但他却阅读了自高斯时代以来所有发表的有关数论的著作。对一切已知定理的证明，都要仔细地揣摩以估量优劣。然后，他必须去判定哪些证明中的“原理能够加以推广，对进一步的研究最为有用”。可在能够作出选择之前，进一步的研究必须先开展起来。那些一直阻碍着人们去全面评价和领悟他的前辈工作的那些思想作风方面的困难，必须予以清除。决定已经做出，这份报告应该分成两个部分：闵可夫斯基讨论有理数论；希尔伯特讨论代数数论。在1894年期间，希尔伯特为他所承担的那部分报告奠定了基础。
可是没过多久，这两位肝胆相照的挚友又得惜别。12月初，希尔伯特接到世所公认德国数学界的领袖——克莱因来自哥廷根的信，信中说：“我将尽力让你取得这里的任命。”“为了我的科学团体，我需要你这样的人。因为你的研究方向，你丰富而强有力的教学思想，以及你处在富于创造活动的年龄。”“你还能产生出使我返老还童的影响。”“但是，有件事你今天就得答应我：倘若你接到任命，你将不会拒绝。”没有记录说明希尔伯特曾考虑过拒绝，事实上，他欣喜若狂地给克莱因回信说：“我的一切努力所追求的最终目的，本希望只能在遥远的未来才能实现的夙愿，已经有了实现的可能。”“你，范围更大的影响力的环境，以及你们这所大学的光荣，都将提供一种科学上的刺激力，这对我来说最有决定意义的。”
希尔伯特：数学世界的亚历山大——第七章只谈数域
注：这里的文字是网上流传的另一个版本的希尔伯特传记的第六章的一部分，红色文字为遗漏掉的文字
哥廷根，是座寂静秀丽的小城市，古老的城墙至今还围绕着哥廷根的内城。[每逢星期日午后，市民们总要去“游城”——这是一小时左右的散步。城外坐落着乔治·奥古斯特大学黄色的建筑物，大学的创建人是汉诺威的选侯，他又是英王乔治二世。……市政厅底层的墙壁上，镌刻着一条箴言，它直言不讳地宣称：哥廷根以外没有生活。]哥廷根大学的科学传统为卡尔·弗里德里希·高斯所首创。[高斯的父亲先后做过园丁、运河看管人和泥水匠。]高斯于1795年[作为勃隆斯威克公爵的被保护人而]进入哥廷根大学，[在其后3年内，他产生了那么多伟大的数学思想，往往来不及去逐一研究，只好把它们记录在他的日记中。]在他21岁离开大学之前，就已经完成了那篇数论杰作《算术研究》。[后来，他重返哥廷根，担任天文台台长，兼副教授的职责。在那里，他度过了一生其余的时光，在纯数学与应用数学各个部分都留下了他的印记。]当他年事已高时，他在数学与应用数学方面赢得了与阿基米德和牛顿相当的荣誉。[他总是把它在哥廷根度过的最初几年说成是“幸运的岁月”。]

希尔伯特1895年3月来到哥廷根时，差不多刚好是高斯到达这里之后的整整100年。[哥廷根的光荣传统，又增加了一位伟大的数学家，这一点学生们并没有马上就看出来。]当时，这里有两位著名的数学家——克莱因和海因里奇·韦伯。
克莱因的声望吸引着世界各国[特别是美国]的学生。[新成立的美国数学会，它的《通报》上定期刊有哥廷根的数学课程。有一个时期，哥廷根大学里的美国人很多，并且又有钱，以致他们特制了自己的信笺，上边印着：“哥廷根美国侨民居地。”]

[数学活动的中心，在教学楼第三层。克莱因在这里开辟了一个阅览室，这个阅览室与当时其他数学阅览室相比别具一格，所有的书刊都是开架的，学生们可以直接取阅。克莱因还在三楼上设置了大量的数学模型，它们就收藏在学生们课前聚集的走廊里，后来几乎成为克莱因的标志。虽然这其实并不是一个房间，但人们总是叫它作数学模型室。]
他的讲演被奉为经典。因为他每次在开始讲课之前都已经为所有公式、图表和引文作好了周密的安排。讲演过程中写上黑板的东西从来不必擦掉。最后，整个黑板就包含了对讲演的内容的一个绝妙概括，每一个小方块都写得恰到好处井然有序。

[克莱因的理论是：学生应该自己来完成数学定理的证明。他只给他们讲解证明方法的大概轮廓。结果，一个学生若想掌握课堂上讲授的材料，那他在课外至少得花费4倍的时间。克莱因擅长于综观全局。“他能在截然不同的问题中洞察到统一的思想，并有一种集中必要的材料来阐述其统一见解的艺术。”有一个学生这样说道。在选择课题时，克莱因遵循着一个宏伟的计划：“对于整个现代数学最终获得一个全面的了解。”]

与之相比，希尔伯特的讲演就远不如其尽善尽美，而是不修边幅，难免错漏，有时还表现出那种忽然有所发现的不适当的冲动，但是希尔伯特惯于回顾他上一次课讲过的内容，这种类似于大学预科学校的讲课技巧是被当时其他教授瞧不起的，但是因为他的讲演充满了精采的观点，不久似乎就给许多学生造成了更深刻的印象。

[在哥尼斯堡执教的8年半中，希尔伯特没有重复过一个课题，只有一个小小的例外，就是每周一小时的行列式课程。现在，在哥廷根，他就能够自如地选择课题，来适应克莱因的意图了。第一学期，他讲授行列式和椭圆函数，并与克莱因一起指导每星期三上午举行的实函数讨论班。]
[希尔伯特虽然高兴地接受了哥廷根的教授职位，但有两个新情况使他感到烦恼。……而对于希尔伯特来说，“友谊”和“人类团结”是从事科学研究的重要条件。他也同克特一样地感到哥廷根的气氛是过于冷清了。]

[开始的时候，希尔伯特还担心，他会不会辜负克莱因对他的信任。他认为ita已经取得信任。]
[现在，在哥廷根，希尔伯特全力以赴，准备他所承担的那部分数论报告，他把这个问题向德国数学会提供的报告看作是他未来希望的必要基础。]

在希尔伯特讲授行列式和椭圆函数的时候，闵可夫斯基在哥尼斯堡接受了作为他朋友的继承人的职位，[闵可夫斯基在新的职位上很愉快——教授们现在都有意地在他面前夸耀他们的女儿的美德——但是，他写道：自从希尔伯特离开以后，他啊还没有去苹果树散过一次步。]

[在希尔伯特鼓励下，闵可夫斯基利用他是正教授的地位，讲授了康托德无限理论。根据希尔伯特的看法，康托的工作在当时的德国数学界实际上仍然是一个“禁果”，这一方面是因为他的思想之新奇，同时也是由于克隆尼克早先的攻击。闵可夫斯基虽然十分钦佩克隆尼克的数学成就，但他也跟希尔伯特一样，对于这位老人企图把个人偏见强加于数学整体的做法深表遗憾。]

希尔伯特在哥廷根认真地准备着1893年德国数学会要求他和闵可夫斯基在两年内合作完成的年度报告，1896年初，希尔伯特的那部分报告接近完成，手稿全部由克特·希尔伯特用清楚圆润的笔迹誊好付印。校样一出来就被邮往哥尼斯堡请闵可夫斯基过目。闵可夫斯基和赫维茨将全部校样极为仔细地审读后，将校正和建议接连地寄往哥廷根，这使得希尔伯特有点不耐烦了。闵可夫斯基便写信安慰他：“细致有好处。”“报告很快就完成，并将获得高度评价，请您想想这点，并以此告慰自己吧！”

[房子快要造好的时候，希尔伯特正在为《报告》写引言。对于一个爱好语言的学生来说，这篇引言堪称是最优美的德文散文之一，“从文学的意义上讲，这篇文章的风格，是作者思想方法的精确反映。”希尔伯特在引言中强调了大数学家们对数论所表示的重视。连克隆尼克也被赞许地提到了，因为当他发表那赫赫有名的“上帝创造自然数……”的论点时，“表达了数学的心灵的感情。”
“我觉得还是有许多地方要批评，”闵可夫斯基耐心地写道。“……你不能在前言中提一下我曾经读过最后三节的手稿吗？”
由于这个提示，希尔伯特写了一个“致谢”，说明哪些地方应当归功于朋友们的帮助。但闵可夫斯基还不满意。
“你没有感谢希尔伯特夫人，我和赫维茨都觉得这太不像话了。就这么拿出去，那简直是不能容许的。”]

报告定稿后，希尔伯特为《报告》写了引言，充分地表达了自己撰写这篇杰作的思想方法。他还在引言中强调了大数学家们对数论所表示的重视。《报告》上署明的最后日期是：1897年4月10日。《报告》出版后，闵可夫斯基又以最大的热忱写信祝贺：“我相信，在不久的将来，您将会列入数论领域中伟大的经典学者的行列。”“同时我还要向您的夫人祝贺，她为所有数学家的妻子作出良好的榜样，这将永远留在人们的记忆之中。”

这份代数数域方面的报告，无论在哪一方面都超过了数学会成员们的期望。他们本来只要求对这门理论当前的状况作一个概述，而收到的却是一篇杰作，它简单而明了地将最近以来全部困难的发展融成了一篇优美而完整的理论。一位同时代的评论家认为，《报告》是一篇令人振奋的艺术佳作，后来有一位作者则称它是数学文献宝库中一件真正的珍品。

希尔伯特在这篇报告中所作出的创造性贡献，其重要意义可以举一条定理为例来说明，它今天仍然以简称“定理90”而闻名，这定理所包含的概念，导致了同调的发展，而同调代数在代数几何和拓扑学中都起着十分重要的作用。[正如另一位数学家所评论的那样，“希尔伯特不仅渊博，而且也为其他数学家提供了大量富有启发性的东西。”]

[对希尔伯特来说，1897年的春天，是一个值得纪念的春天——新居落成了，《报告》在最后印刷之中。但接着却传来了悲伤的消息，他的唯一的妹妹埃莉泽·弗兰塞尓，东普鲁士一位法官的妻子，因难产去世了。
闵可夫斯基打算在9月里结婚。但在这之前有一件重要的事情。8月份，一次国际数学家代表大会将在瑞士苏黎世举行，那里被认为是完全中立的地方。克莱因被邀请担任德国代表团团长。“这会引起一个后果，”闵可夫斯基指出，“柏林方面将不会有人参加会议。”
虽然希尔伯特由于某些原因没有出席这次大会，但他却阅读了会上提出的全部论文，其中两篇特载的演说给他印象最深。一篇是赫维茨关于现代一般函数论历史的演讲，另一篇则是庞加莱所作的非正式讲话，内容是论述纯分析与数学物理相互服务的方式。
大会结束后不久，闵可夫斯基就在斯特拉斯堡举行了婚礼。]

[希尔伯特开始挖掘这些宝藏了。他准备《报告》的工作，使他具备了这一领域的“既精湛又全面”的知识。他谨慎地但又充满信心地向前迈进。
后来一位数学家指出：通过一系列的论文，从特殊上升到一般，一步一个脚印，去考察和分析那些正确的概念和方法是怎样发展的，那些基本的关系又是怎样被提示的，这真是莫大的愉快。
通过对高斯古典互反律的研究，希尔伯特能够以一种简单、优美、可以同时应用于代数数域的形式来重新表述这条定理。由此出发，他已十分清楚地猜测到关于高于二次的互反律应该是什么样子，虽然他并没有能在所有情形下证明他的猜测。]希尔伯特准备《报告》时的工作，使他具备了这一领域的既精湛又全面的知识。他谨慎地但又充满信心地向前迈进着。次年，希尔伯特又发表了题为《相对阿贝尔域理论》的文章，建立了探讨“类域”论所必需的方法和概念。如果说希尔伯特关于不变量的工作，是一项发展性的成果，则这次在代数数域方面的工作是开创性的，然而对他而言，紧接在开创之后，又在“急转弯”了。
希尔伯特：数学世界的亚历山大——第八章桌子、椅子、啤酒杯
注：这里的文字是网上流传的另一个版本的希尔伯特传记的第六章的一部分，红色文字为遗漏掉的文字
希尔伯特教授将于1898至1899年冬讲授几何基础的预告，使学生们都感到很惊异。自从3年前到哥廷根以来，他对这些学生一直是“只谈数域”的，不过，这种新的兴趣也并不是完全没有先兆的。还是在做讲师的时候，赫尔曼·维纳在一次讲座中对几何实质的抽象观点影响了希尔伯特。后来希尔伯特想：“我们必定可以用桌子、椅子和啤酒杯来代替点、线、面。”这种朴素的说法，蕴含了他现在打算提出的讲演的实质。为了理解希尔伯特对几何学所采取的研究途径，我们必须记住，数学起初是一堆并不无严格次序的命题，这些命题或者是自明的，或者是从其他看来是自明的命题通过清楚的逻辑的方式而获得的。这种明显的准则，无保留地被应用来扩展数学知识。[到公元前3世纪，有一位叫欧几里得的教师，用一种后来得到普遍采用的形式把当时的一些数学知识组织起来。首先，他定义了他要使用的术语——点，线，面等等。接着，他把明显性准则的应用归结为数十条命题，这些命题的真实性一般来说是如此清楚，人们不用证明就可以把它们当作真理来接受。只用这些定义和公理，他推导了大约500多条几何定理。这些几何定理的真实性在许多情况下并不自明，但却由如下的事实所保证：所有这些定理都是从已经被接受为真理的定义和公理出发，根据大家接受的逻辑法则推导出来的。
高斯显然是第一位这样的数学家，他早在1800年就已经认识到，否定欧几里得平行公理并不会导致矛盾，因而除了欧几里得几何之外，其他的几何学也是可能的。但是这种思想带有形而上学的味道，因此，他从未发表过他对这问题的研究，仅仅在要求保密的条件下把他的想法写信告诉了最亲密的朋友。
奇怪的是，非欧几何的发现并没有引起高斯（在1829年1月27日给Bessel的信中）所说的“愚人们的叫嚷”，由于害怕这种愚人的叫嚷，高斯没敢发表自己对这问题的研究。实际上，当时数学家们对这一发现并没有多大的兴趣。对于他们中大多数人来说，它似乎太抽象了。
这一新思想直到1870年才被普遍接受。当时，21岁的克莱因在凯莱的工作中发现了一个“模型”，通过这个模型，他能够把非欧几何的基本对象和关系与欧氏几何中特定的对象和关系等同起来。他用这种方法证明了非欧几何与欧式几何一样地相容，因为在非欧几何中存在的矛盾也必然会在欧式几何中出现。]

[这样一来，终于表明：平行公理不可能得到证明，这事实“就像任何其他数学真理一样是绝对可靠的。”但人们仍然没有立刻意识到这一发现的充分意义。大多数数学家现在虽已承认通过改变平行公理而得到的几种非欧几何，却未能看出这样一个必然的事实：欧几里得的其他公理同样也都是任意的假设，它们可以用别的假设来代替，因而还可能有其他的非欧几何。
现在，希尔伯特提出：在此基础上建立一组简单而又完备的、相互独立的公理，通过这组公理就可以证明欧几里得几何中早已熟知的全部定理。他的方法——将抽象的观点与具体的传统语言创造性地结合起来——非常有效。……他的方法可以为他班上那些只知道欧几里得几何《原本》的学生所理解。对于那些素来以《原本》为第一部入门书的成名数学家来说，希尔伯特的讲演尤其富有吸引力，“人们仿佛看到了一副非常熟悉但却变得更加崇高的面孔。
当这些几何讲演进行之时，哥廷根正在筹备高斯和威尔海姆·韦伯纪念碑的落成典礼，这两个人，一位是数学家，一位是物理学家，哥廷根大学的双重科学传统就是由他们而开始。对克莱因来说，这次落成到典礼似乎提供了一个机会，来再次强调数学与物理学的有机统一。”]

[在很大程度上说，希尔伯特与欧几里得一样，他之所以获得成功，与其说是由于他的创造性，不如说是由于他的表述方式与逻辑的完美。不过，除了以富有吸引力而又易于掌握的方式来详细阐明这种现代观点以外，他还提出了更为重要的东西。他用一种彻底严格的现代方式建立起传统的思想阶梯（基本概念-公理-定理），接着便开始向崭新的水平前进。这条途径后来以“元数学”（metamathematics）而著称，照字面上理解，“metamathematics”的意思是“超出数学之外”。因为与欧几里得几何不同，希尔伯特还要求他的公理满足某种逻辑的要求：

它们必须是完备的，所有的定理都可以由这些公理推得；
它们必须是独立的，如果从这组公理中除去任何一条公理，至少就会有某些定理不可能得到证明；
它们必须是相容的，从这些公理出发不可能推出任何矛盾的定理。
希尔伯特著作中的这一部分，最重要之点就是力图证明最后的这条要求——即证明这些公理是相容的。这等价于证明：用这些公理进行的推理决不会导致矛盾，简而言之，也就是要指出，这些公理不可能同时用来证明一个命题和它的否命题。将一个数学理论看作室通过演绎的方法从一组任意选择的假设推导出来的定理系统，而对于这些假设的真实性及其含义不加任何限制，在这种新观念之下，数学理论的相容性概念，乃是直觉真理的唯一的替代物。]

[正如以上所见，我们已经用到过一个证明这种相容性的方法，通过这种方法可以证明：非欧几何中存在的任何矛盾，在欧几里得几何中必定也会存在，非欧几何被证明至少是与欧氏几何一样地相容。
希尔伯特现在迈出了下一步，这一步尽管十分明显，却始终没有被其他人想到。运用解析几何，希尔伯特证明了：欧几里得几何中存在的任何矛盾，必定会表现为实数算术中的一个矛盾。无论是非欧几何还是欧式几何，都被证明至少是与实数算术一样地相容，而实数算术的形容性则是所有数学家都愿意接受的。]

希尔伯特编写了《几何基础》的讲义，这份讲义一经出版，又产生了巨大的影响。在几个月内成了最畅销的数学书，被译成了英语、法语等多种语言。那些三年多来听他谈论代数数域的学生，无不惊异地称赞着这部著作的成功。但甚至就在他们惊讶的时候，希尔伯特又开始在另一个完全不同的数学领域里发展研究成果了。
希尔伯特：数学世界的亚历山大——第九章问题
注：这里的文字是网上流传的另一个版本的希尔伯特传记的第六章的一部分，红色文字为遗漏掉的文字
[“用新方法来解决老问题，可以推动纯数学的发展，”克莱因喜欢对他的学生们这样讲。“当我们对老问题有了更好的理解，自然就会提出新的问题。”]
1899年夏，他转向了一个著名的老问题——“狄里克莱原理”。这一作为几何函数论的基础的狄里克莱原理，已经提出近半个世纪了，但这时的数学家们却已把这个原理看作濒临绝境。希尔伯特遵循了导师克莱因“用新方法来解决老问题，自然，就会引出新问题”的教导，坚信严格性有助于方法的简化。没过多久，希尔伯特就向德国数学会提出了挽救狄里克莱原理的初步尝试，他把这个尝试叫做狄里克莱原理的“复活”。整个论文包括引言在内还不到六页，却被赞誉为“妙手回春”之作。（6年以后，在哥廷根科学协会成立150周年之际，希尔伯特又回到了这个问题上，并给出了狄里克莱原理的第二个证明）。挽救狄里克莱原理获得成功以后，希尔伯特决定于1899至1900年的冬季学期讲授变分法——在他的教授生涯中，他还是第一次开这门课。希尔伯特在这一时期的数学兴趣，比他在哥尼斯堡当讲师以来的任何时候都要广泛。他继续研究几何学，并发表了几篇有关的论文。他还发表了一篇题为《数的概念》的文章，正是在如此丰富多采的研究活动中，希尔伯特收到了要他在1900年夏天于巴黎举行的第2次国际数学家代表大会上作主要发言的邀请。