矩阵分析——QR分解

Gram-Schmidt正交化

       在提到矩阵的QR分解前，必须要提到Gram–Schmidt方法，理论上QR分解是由Gram–Schmidt正交化推出来的。那么Gram–Schmidt正交化究竟是什么。

       在三维空间存在直角坐标系，其中任意一点都可以由(x,y,z)坐标唯一确定，在这个坐标系中，X、Y、Z三轴都是相互正交(垂直)的。那么推广到n维欧式空间，就是n个线性无关的基向量组成的一组基，n维欧式空间中任意一位置，都可以由这组基线性表示。

       那么就引出来另一个问题，怎么得到一组两两相互正交的正交基呢?这一过程就是Gram–Schmidt正交化。下面简

单推理一下Gram–Schmidt正交化方法的得出过程。重点是正交投影这种思想。

      现在设是欧式空间的一组基，我们希望由此得到这组正交基。

       先令，那么如何得到呢？可以将正交分解为，如下图所示：

      

      由此可以得到，因此 。So

      那么呢？显然可以由相同的方法得出，如下图所示：

     由此可得。推广到第j个正交向量可得：

     以上就是求正交基的Gram–Schmidt正交化方法。

QR分解

      对于可逆矩阵A的列向量组进行Gram–Schmidt正交化，可得标准正交向量：

     用矩阵表达即是：

      T=(tij)，A=（），Q=()，这里注意Q是正交矩阵。若记，则A = QR，其中T的逆矩阵R仍然是上三角矩阵。

      由此得到QR分解定义：

      对于n阶方阵A，若存在正交矩阵Q和上三角矩阵R，使得A = QR，则该式称为矩阵A的完全QR分解或正交三角分解。(对于可逆矩阵A存在完全QR分解)。

      从上面可以看出矩阵QR分解是由Gram–Schmidt正交化推理出来的一种方阵分解形式，矩阵QR分解的计算方法也是以Gram–Schmidt正交化为核心。通过Gram–Schmidt正交化求出正交矩阵Q，再通过得到矩阵R。

      这里对于Gram–Schmidt正交化求正交矩阵Q提出一种改进的计算方法(改进的地方是每产生一个单位正交向量后，就用后续的向量减去它，消去其中包含这个正交向量的部分)：

      其实对于非方阵的m*n(m≥n)阶矩阵A也可能存在QR分解的，A = QR。这时Q为m*n阶的半正交矩阵，R为n*n阶上三角矩阵。这时的QR分解不是完整的(方阵)，因此称为约化QR分解(对于列满秩矩阵A必存在约化QR分解)。

      同时也可以通过扩充矩阵A为方阵或者对矩阵R补零，可以得到完全QR分解。

参考资料：

《矩阵分析与计算》，李继根，张新发

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