CDOJ 1805 矩阵

Description

小明发现了一种特殊的N×M的矩阵，矩阵里的元素都是1或−1。假设A_i为第 i 行 (1 ≤ i ≤ N) 所有元素的乘积，B_j 为第 j 列 (1 ≤ j ≤ M) 所有元素的乘积。喜欢搞事情的小明突发奇想，想知道有多少个不相同的，大小为N×M的矩阵使得所有A_i, B_j都是K的矩阵(K=1 或者 -1)。
当且仅当两个矩阵存在一个元素不相同时两个矩阵不相同。

Standard Input

输入只有一行，三个数字N, M, K.

Standard Output

输出一个数字，即满足条件的不同矩阵的数量.

Samples

Input	Output
2 2 1	2

Note

这两个不同的矩阵分别是
1 1
1 1
和
-1 -1
-1 -1

题意

要求构造NxM的矩阵，使得每一行的乘积均为k，每一列的乘积均为k，其中k只可能是-1和1

题解¹

首先，这个矩阵肯定只能是1和-1组成的矩阵了
若k为1，那么每一列只能有偶数个-1；若k为-1，那么每一列只能有奇数个-1
那么对于每一列（长度为N），都有2N−1种可能的选择
那么，假设前M−1列都构造完毕，最后一列呢？
显然，如果第1行已经有x个-1，那么最后一列的第1行应该是一个使得该行有奇数个-1(对应k=-1)或偶数个-1(对应k=1)的数，显然也可以确定
这样，整个矩阵都可以构建完成，可见这个矩阵的确定只与前M-1列有关，一共有 2^{(N−1)(M−1)}个矩阵
那么问题来了：N行的乘积为k了，前M-1列的乘积也为k了，那么第M列的乘积呢？
讨论如下：
k=1：若前M-1列构成的矩阵第i行乘积为-1，那么第M列第i行也是-1；若为1，那么第i行也是1；既然如此，那么说明第M列元素的乘积等于前M-1列的所有行的乘积，后者等价于所有列的乘积，故第M列的乘积为1
k=-1：若前M-1列构成的矩阵第i行乘积为-1，那么第M列第i行是1；若为1，那么第i行是-1；既然如此，那么说明第M列元素的乘积等于前M-1列的所有行的乘积的相反数的乘积，后者等于所有数的乘积再乘以(−1)^N（N为行数），等价于前M-1列的乘积乘上(−1)^N，也就是说最后一列的乘积为(−1)^M−1·(−1)^N
若N×(M−1)为偶数，最后一列乘积为1
若N×(M−1)为奇数，最后一列乘积为-1
其余结论显然

#include
// 代码已精简
int main(){
	int m, n, k;
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &k);
	if(k == -1 && (m + n) % 2){
		putchar('0');
		return 0;
	}
	printf("%llu", 1ull << (--m*--n));
	return 0;
}

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1. https://www.cnblogs.com/scidylanpno/p/7978086.html ↩︎