信息熵通俗易懂的例子

转自知乎 https://www.zhihu.com/question/22178202/answer/223017546

本科学的时候是院长教的，当时他说这个东西很有用，也仔细听了没懂什么意思，现在回过头来看，还真有用。

信息熵的定义与上述这个热力学的熵，虽然不是一个东西，但是有一定的联系。熵在信息论中代表随机变量不确定度的度量。一个离散型随机变量 的熵 定义为：

这个定义的特点是，有明确定义的科学名词且与内容无关，而且不随信息的具体表达式的变化而变化。是独立于形式，反映了信息表达式中统计方面的性质。是统计学上的抽象概念。

 

所以这个定义如题主提到的可能有点抽象和晦涩，不易理解。那么下面让我们从直觉出发，以生活中的一些例子来阐述信息熵是什么，以及有什么用处。

 

直觉上，信息量等于传输该信息所用的代价，这个也是通信中考虑最多的问题。比如说：赌马比赛里，有4匹马 ，获胜概率分别为 。

 

接下来，让我们将哪一匹马获胜视为一个随机变量 。假定我们需要用尽可能少的二元问题来确定随机变量 的取值。

例如：问题1：A获胜了吗？问题2：B获胜了吗？问题3：C获胜了吗？最后我们可以通过最多3个二元问题，来确定 的取值，即哪一匹马赢了比赛。

 

如果 ，那么需要问1次（问题1：是不是A？），概率为 ；

如果 ，那么需要问2次（问题1：是不是A？问题2：是不是B？），概率为 ；

如果 ，那么需要问3次（问题1，问题2，问题3），概率为 ;

如果 ，那么同样需要问3次（问题1，问题2，问题3），概率为 ；

 

那么很容易计算，在这种问法下，为确定 取值的二元问题数量为：

 

那么我们回到信息熵的定义，会发现通过之前的信息熵公式，神奇地得到了：

 

在二进制计算机中，一个比特为0或1，其实就代表了一个二元问题的回答。也就是说，在计算机中，我们给哪一匹马夺冠这个事件进行编码，所需要的平均码长为1.75个比特。

 

平均码长的定义为：

 

很显然，为了尽可能减少码长，我们要给发生概率 较大的事件，分配较短的码长 。这个问题深入讨论，可以得出霍夫曼编码的概念。

 

那么 四个实践，可以分别由 表示，那么很显然，我们要把最短的码 分配给发生概率最高的事件 ，以此类推。而且得到的平均码长为1.75比特。如果我们硬要反其道而行之，给事件 分配最长的码 ，那么平均码长就会变成2.625比特。