概率图模型（一）：综述

概率图模型

本文参考：
b站白板推导：https://www.bilibili.com/video/av70839977
大佬的笔记：https://github.com/tsyw/MachineLearningNotes
《PRML》
《PROBABILISTIC GRAPHICAL MODELS PRINCIPLES AND TECHNIQUES》

如图，列出常见的概率模型间的关系：

对于图模型。一个图由结点（nodes）（也被称为端点（vertices））和它们之间的链接（links）（也被称为边（edges）或弧（arcs））组成。在概率图模型中，每个结点表示一个随机变量（或一组随机变量），链接表示这些变量之间的概率关系。这样，图描述了联合概率分布在所有随机变量上能够分解为一组因子的乘积的方式，每个因子只依赖于随机变量的一个子集。贝叶斯网络（Bayesian network），也被称为有向图模型（directed graphical model）。这个模型中，图之间的链接有一个特定的方向，使用箭头表示。另一大类图模型是马尔科夫随机场（Markov random fields），也被称为有向图模型（undirected graphical models）。这个模型中，链接没有箭头，没有方向性质。有向图对于表达随机变量之间的因果关系很有用，而无向图对于表示随机变量之间的软限制比较有用。为了求解推断问题，通常比较方便的做法是把有向图和无向图都转化为一个不同的表示形式，被称为因子图（factor graph）。
概率图模型使用图的方式表示概率分布。为了在图中添加各种概率，首先总结一下随机变量分布的一些规则：
$$\begin{array}{rl}& SumRule:p(x_1)=\int p(x_1,x_2)d{x}_2\\ & ProductRule:p(x_1,x_2)=p(x_1|x_2)p(x_2)\\ & ChainRule:p(x_1,x_2,\cdots ,x_p)=\prod _{i=1}^{p}p(x_i|x_{i+1,x_{i+2}\cdots }{x}_p)\\ & BayesianRule:p(x_1|x_2)=\frac{p(x_2|x_1)p(x_1)}{p(x_2)}\end{array}$$
可以看到，在链式法则中，如果数据维度特别高，那么的采样和计算非常困难，我们需要在一定程度上作出简化，在朴素贝叶斯中，作出了条件独立性假设。在 Markov 假设中，给定数据的维度是以时间顺序出现的，给定当前时间的维度，那么下一个维度与之前的维度独立。在 HMM 中，采用了齐次 Markov 假设。在 Markov 假设之上，更一般的，加入条件独立性假设，对维度划分集合 $A,B,C$，使得 $X_A\perp X_B|X_C$。

概率图模型采用图的特点表示上述的条件独立性假设，节点表示随机变量，边表示条件概率。概率图模型可以分为三大理论部分：

有向图-贝叶斯网络

已知联合分布中，各个随机变量之间的依赖关系，那么可以通过拓扑排序（根据依赖关系）可以获得一个有向图。而如果已知一个图，也可以直接得到联合概率分布的因子分解：
$$p(x_1,x_2,\cdots ,x_p)=\prod _{i=1}^{p}p(x_i|x_{parent(i)})$$
贝叶斯网络是一种模拟人类推理过程中因果关系的不确定性处理模型，其网络拓朴结构是一个有向无环图(DAG)。那么实际的图中条件独立性是如何体现的呢？在局部任何三个节点，可以有三种结构：

1. A

   B

   C

   $$\begin{gathered} p(A,B,C)=p(A)p(B|A)p(C|B)=p(A)p(B|A)p(C|B,A) \\ ⟹p(C|B)=p(C|B,A) \\ \iff p(C|B)p(A|B)=p(C|A,B)p(A|B)=p(C,A|B) \\ ⟹C\perp A|B \end{gathered}$$
   <=>若B被观测，则路径被堵塞

2. B

   A

   C

   $$\begin{gathered} p(A,B,C)=p(A|B)p(B)p(C|B)=p(B)p(A|B)p(C|A,B) \\ ⟹p(C|B)=p(C|B,A) \\ \iff p(C|B)p(A|B)=p(C|A,B)p(A|B)=p(C,A|B) \\ ⟹C\perp A|B \end{gathered}$$
   <=>若B被观测，则路径被堵塞

3. A

   B

   C

   $$\begin{gathered} p(A,B,C)=p(A)p(C)p(B|C,A)=p(A)p(C|A)p(B|C,A) \\ ⟹p(C)=p(C|A) \\ \iff C\perp A \end{gathered}$$

   对这种结构，$A,C$ 不与 $B$ 条件独立。
   <=>默认情况下，A,C条件独立<=>若B被观测，则路径连通

从整体的图来看，可以引入 D 划分的概念。对于类似上面图 1和图 2的关系，引入集合A，B，那么满足 $A\perp B|C$ 的 $C$ 集合中的点与 $A,B$ 中的点的关系都满足图 1，2，满足图3 关系的点都不在 $C$ 中。D 划分应用在贝叶斯定理中：
$$p(x_i|x_{-i})=\frac{p(x)}{\int p(x)d{x}_i}=\frac{\prod _{j=1}^{p}p(x_j|x_{parents(j)})}{\int \prod _{j=1}^{p}p(x_j|x_{parents(j)})d{x}_i}$$
可以发现，上下部分可以分为两部分，一部分是和 $x_i$ 相关的，另一部分是和 $x_i$ 无关的，而这个无关的部分可以相互约掉。于是计算只涉及和 $x_i$ 相关的部分。

与 $x_i$ 相关的部分可以写成：
$$p(x_i|x_{parents(i)})p(x_{child(i)}|x_i)$$
这些相关的部分又叫做 Markov 毯。

实际应用的模型中，对这些条件独立性作出了假设，从单一到混合，从有限到无限（时间，空间）可以分为：

1. 朴素贝叶斯，单一的条件独立性假设 $p(x|y)=\prod _{i=1}^{p}p(x_i|y)$，在 D 划分后，所有条件依赖的集合就是单个元素。
2. 高斯混合模型：混合的条件独立。引入多类别的隐变量 $z_1,z_2,\cdots ,z_k$， $p(x|z)=\mathcal{N}(\mu ,\Sigma )$，条件依赖集合为多个元素。
3. 与时间相关的条件依赖
   1. Markov 链
   2. 高斯过程（无限维高斯分布）
4. 连续：高斯贝叶斯网络
5. 组合上面的分类
   • GMM 与时序结合：动态模型
     • HMM（离散）
     • 线性动态系统 LDS（Kalman 滤波）
     • 粒子滤波（非高斯，非线性）

无向图-马尔可夫网络（马尔可夫随机场）

无向图没有了类似有向图的局部不同结构，在马尔可夫网络中，也存在 D 划分的概念。直接将条件独立的集合 $x_A\perp x_B|x_C$ 划分为三个集合。这个也叫全局 Markov。对局部的节点，$x\perp (X-Neighbour(x))|Neighbour(x)$。这也叫局部 Markov。对于成对的节点：$x_i\perp x_j|x_{-i-j}$，其中 $i,j$ 不能相邻。这也叫成对 Markov。事实上上面三个点局部全局成对是相互等价的。

有了这个条件独立性的划分，还需要因子分解来实际计算。引入团的概念：

团，最大团：图中节点的集合，集合中的节点之间相互都是连接的叫做团，如果不能再添加节点，那么叫最大团。

利用这个定义进行的 $x$ 所有维度的联合概率分布的因子分解为，假设有 $K$ 个团，$Z$ 就是对所有可能取值求和：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲p(x)=\frac{1}{Z…
其中 $\varphi (x_{ci})$ 叫做势函数，它必须是一个正值，可以记为：
$$\varphi (x_{ci})=\exp (-E(x_{ci}))$$
这个分布叫做 Gibbs 分布（玻尔兹曼分布）。于是也可以记为：$p(x)=\frac{1}{Z}\exp (-\sum _{i=1}^{K}E(x_{ci}))$。这个分解和条件独立性等价（Hammesley-Clifford 定理），这个分布的形式也和指数族分布形式上相同，于是满足最大熵原理。

两种图的转换-道德图

我们常常想将有向图转为无向图，从而应用更一般的表达式。

1. 链式：

   A

   B

   C

   直接去掉箭头，$p(a,b,c)=p(a)p(b|a)p(c|b)=\varphi (a,b)\varphi (b,c)$：

   A

   B

   C

2. V 形：

   B

   A

   C

   由于 $p(a,b,c)=p(b)p(a|b)p(c|b)=\varphi (a,b)\varphi (b,c)$，直接去掉箭头：

   B

   A

   C

3. 倒 V 形：

   A

   B

   C

   由于 $p(a,b,c)=p(a)p(c)p(b|a,c)=\varphi (a,b,c)$，于是在 $a,c$ 之间添加线：

   a

   b

   c

   观察着三种情况可以概括为：

   1. 将每个节点的父节点两两相连
   2. 将有向边替换为无向边

更精细的分解-因子图

对于一个有向图，可以通过引入环的方式，可以将其转换为无向图（Tree-like graph），这个图就叫做道德图。但是我们上面的 BP 算法只对无环图有效，通过因子图可以变为无环图。

考虑一个无向图：

a

b

c

可以将其转为：

a

f

b

c

其中 $f=f(a,b,c)$。因子图不是唯一的，这是由于因式分解本身就对应一个特殊的因子图，将因式分解：$p(x)=\prod _s{f}_s(x_s)$ 可以进一步分解得到因子图。

推断

推断的主要目的是求各种概率分布，包括边缘概率，条件概率，以及使用 MAP 来求得参数。通常推断可以分为：

1. 精确推断
   1. Variable Elimination(VE)
   2. Belief Propagation(BP, Sum-Product Algo)，从 VE 发展而来
   3. Junction Tree，上面两种在树结构上应用，Junction Tree 在图结构上应用
2. 近似推断
   1. Loop Belief Propagation（针对有环图）
   2. Mente Carlo Interference：例如 Importance Sampling，MCMC
   3. Variational Inference

推断-变量消除（VE）

变量消除的方法是在求解概率分布的时候，将相关的条件概率先行求和或积分，从而一步步地消除变量，例如在马尔可夫链中：

a

b

c

d

$$p(d)=\sum _{a,b,c}p(a,b,c,d)=\sum _{c}p(d|c)\sum _{b}p(c|b)\sum _{a}p(b|a)p(a)$$

变量消除的缺点很明显：

1. 计算步骤无法存储
2. 消除的最优次序是一个 NP-hard 问题

推断-信念传播（BP）

为了克服 VE 的第一个缺陷-计算步骤无法存储。我们进一步地对上面的马尔可夫链进行观察：

a

b

c

d

e

要求 $p(e)$，当然使用 VE，从 $a$ 一直消除到 $d$，记 $\sum _{a}p(a)p(b|a)=m_{a\to b(b)}$，表示这是消除 $a$ 后的关于 $b$ 的概率，类似地，记 $\sum _{b}p(c|b)m_{a\to b}(b)=m_{b\to c}(c)$。于是 $p(e)=\sum _{d}p(e|d)m_{b\to c}(c)$。进一步观察，对 $p(c)$：
$$p(c)=[\sum _{b}p(c|b)\sum _{a}p(b|a)p(a)]\cdot [\sum _{d}p(d|c)\sum _{e}p(e)p(e|d)]$$
我们发现了和上面计算 $p(e)$ 类似的结构，这个式子可以分成两个部分，一部分是从 $a$ 传播过来的概率，第二部分是从 $ e$ 传播过来的概率。

一般地，对于图（只对树形状的图）：

a

b

c

d

这四个团（对于无向图是团，对于有向图就是概率为除了根的节点为1），有四个节点，三个边：
$$p(a,b,c,d)=\frac{1}{Z}{\varphi }_a(a){\varphi }_b(b){\varphi }_c(c){\varphi }_d(d)\cdot {\varphi }_{ab}(a,b){\varphi }_{bc}(c,b){\varphi }_{bd}(d,b)$$
套用上面关于有向图的观察，如果求解边缘概率 $p(a)$，定义 $m_{c\to b}(b)=\sum _c{\varphi }_c(c){\varphi }_{bc}(bc)$，$m_{d\to b}(b)=\sum _d{\varphi }_d(d){\varphi }_{bd}(bd)$，$m_{b\to a}(a)=\sum _b{\varphi }_{ba}(ba){\varphi }_b(b)m_{c\to b}(b{)}_{d\to b}m(b)$，这样概率就一步步地传播到了 $a$：
$$p(a)={\varphi }_a(a)m_{b\to a}(a)$$
写成一般的形式，对于相邻节点 $i,j$：
$$m_{j\to i}(i)=\sum _j{\varphi }_j(j){\varphi }_{ij}(ij)\prod _{k\in Neighbour(j)-i}{m}_{k\to j}(j)$$
这个表达式，就可以保存计算过程了，只要对每条边的传播分别计算，对于一个无向树形图可以递归并行实现：

1. 任取一个节点 $a$ 作为根节点
2. 对这个根节点的邻居中的每一个节点，收集信息（计算入信息）
3. 对根节点的邻居，分发信息（计算出信息）

推断-Max-Product 算法

在推断任务中，MAP 也是常常需要的，MAP 的目的是寻找最佳参数：
$$(\hat{a},\hat{b},\hat{c},\hat{d})={\mathrm{argmax}}_{a,b,c,d}p(a,b,c,d|E)$$
类似 BP，我们采用信息传递的方式来求得最优参数，不同的是，我们在所有信息传递中，传递的是最大化参数的概率，而不是将所有可能求和：
$$m_{j\to i}=\underset{j}{\max }{\varphi }_j{\varphi }_{ij}\prod _{k\in Neighbour(j)-i}{m}_{k\to j}$$
于是对于上面的图：
$$\underset{a}{\max }p(a,b,c,d)=\underset{a}{\max }{\varphi }_a{\varphi }_{ab}{m}_{c\to b}{m}_{d\to b}$$
这个算法是 Sum-Product 算法的改进，也是在 HMM 中应用给的 Viterbi 算法的推广。