整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

1.本题知识点

   时间效率

2. 题目描述

   求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

3. 思路

   这就是一套数学题啊，找数字的规律。看了剑指offer和网上一些思路，有点混乱，直到看了一个github大神写的极简思路，才感觉豁然开朗。具体分析如下：

   总的来说，就是通过求每个位上1出现次数 再累加起来。

   我们拿一个5位数的百分位 (其它位同理) 举例，一种有3种情况：

   ① 百分位数字为0时，比如31056，百分位切割后：a = 310 , b = 56。

  

   ② 百分位数字>=2时，比如31256，百分位切割后：a = 312 , b = 56。

  

   ③ 百分位数字为1时，比如31156，百分位切割后：a = 311 , b = 56。

  

   统一一下表达式，把百分位为0 和 >=2两种情况合并，因为0和>=2的表达式区别在于a/10是否+1,也就是说产生进位就+1，否则不+1，由于a/10是取商操作，充分利用这个性质，表达式合并为[(a+8)/10] * 100 。

   进一步分析合并表达式：当百分位>=2时a+8产生进位，表达式相当于(a/10 + 1)*100，当百分位=0时，不产生进位，表达式相当于(a/10)*100 。

   最后，表达式整理为：

   百分位代码表示为：(a+8)/10 * 100 + (a % 10 == 1 ? b+1 : 0)

   千分位代码表示为：(a+8)/10 * 1000 + (a % 10 == 1 ? b+1 : 0)

   万分位代码表示为：(a+8)/10 * 10000 + (a % 10 == 1 ? b+1 : 0)

   十分位代码表示为：(a+8)/10 * 10 + (a % 10 == 1 ? b+1 : 0)

   个分位代码表示为：(a+8)/10 * 1 + (a % 10 == 1 ? b+1 : 0)

   总的次数就是把它们加起来即可。

   Java 版:

public class Solution {
    public int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n) {
        //校验
        if(n <= 0) return 0;
        
        int count1 = 0;
        //从个位数开始，按照我们分析的表达式计算次数
        for(long q = 1; q <= n; q*=10){
            long a = n/q, b = n%q; //按位数切割为a b, 从个位开始
            count1 += (a+8)/10 * q + (a % 10 == 1 ? b+1 : 0);
        }
        
        return count1;
    }
}

参考 1