LCP142 LeetCode142. Linked List Cycle II

前言

这次要啃个硬骨头！！！
网上也有相当多的解题思路，我也看过，但是仍然觉得还有不足之处。当然，十分感谢那些解题思路，以及LeetCode网友 RainbowSecret 的解答。才有以下我的这篇梳理。

题目

Acceptance : 31.3% Difficulty : Medium

Given a linked list, return the node where the cycle begins. If there is no cycle, return null.

Note : Do not modify the linked list.

Follow up :

Can you solve it without using extra space ?

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Linked List

Two Pointers

题解

首先感谢简书作者 floodiu 对本题的解答。我也是看过他的解答之后才有的我写在他的解答之下的疑问，以及以下这篇思路梳理。

• X 是链表的起点。
• Y 是环的起点。
• Z 是 fast 和 slow 首次相遇的地方（二者同时从X出发，slow 每次移动一步， fast 每次移动两步）
• a，b，c 分别表示 XY（蓝色）， YZ（红色）， ZY（绿色）的长度。
  当 fast 和 slow 在 Z 点 首次相遇时：
• fast 移动的距离是： a + b + c + b
• slow 移动的距离是： a + b

毫无疑问， floodiu 的思路是正确但是不太全面的。 非常容易可见的错误是，当 a 的距离非常长之后， fast 指针将在 cycle 中转过好多圈，也就是 fast 走过的距离并非简单的 a + b + c + b。

除此之外，当我第一次看到这个问题时候的疑问是：

• 怎么证明 fast 在 cycle 中 与 slow 站在同一位置时，他俩是第一次相遇，而非 fast 曾经超越 slow n 次 而后才又站到一起呢？

  这个问题的解答可以考虑这样一个问题： fast 首先进入 cycle 是事实，但是我们仍然可以把它看作是 fast 在 slow 之后。 也就是，当 slow 进入 cycle 时， 就变成了两个人在环形跑道上的追击问题了，把从这时起的位置看作是起始位置，可能 slow 在 fast 之前若干距离（记为α）处。但是他俩之间的相对速度是 -1， 也就是说，自然数 α 将通过不断地 α - - ，总会有一刻，它的值为 0，而非一下变成了负数。所以，他俩站上同一位置时，他俩可能真的是第一次相遇。这里我又想到了一种极特殊的情况，就是 slow 在XY上 Y - 1 的位置， fast 在环中ZY上 Y - 1 的位置。那么当 slow 进入环中的时候，fast 刚好超过了一下它进入了 YZ 上 Y + 1 的位置。当然，以这样讨论是不是 fast 超过了 slow，还需要深入考虑具体的情况。但是我们接下来分析的解题思路是与整个这个疑问都无关的！！

真·题解

OK，让我们进入正式的题目解析过程。感谢LeetCode网友 RainbowSecret 的解答。但是我看他的解答还是觉得不太十分清晰。或者，由于语言的问题，理解起来并不十分容易。

首先，上图

• X 为链表起点，Y 为链表中环 cycle 的进入点Entry， Z 为 fast 指针 与 slow 指针 在环中相遇的位置。
• XY 段长度（从X走到Y所需的步数，亦即所需=root->next的操作数）为 a， 弧YZ（红色）段长度为 b，弧ZY（绿色）的长度为 c。
• 于是环的长度为 YZ + ZY 的长度，也就是 b + c，这里我们记为 d = b + c。
• 假设他们相遇时 slow 需要走过 t 步。

以上为所有事实，及我们的变量声明。

首先，当他们相遇时，由于 fast 是 slow 速度的2倍，所以：
2 * t = t + N1 * d。。。。（N1 = 1， 2, 3……）。。。。。。。。。。。①
也就是说，fast 所走的距离 = slow 所走的距离（也就是 a + b） 再加上 fast 自己在环处转的圈。这里 N1 最小只能取到 1，因为当 fast 再次追上 slow 时，fast 无论如何都是要再跨过 一次 Y 点的。否则，fast 将一直处于 slow 之前。

把右侧的 t 移到左侧，于是得出：
t = N1 * d。。。。。。②
额，这个结果看上去令人有些惊讶。但，这是事实。

同样的，我们考虑 fast 指针走过的距离的话。相当于 a + N2 * d + b。
或者可以理解为，我们把第一个等式中的右侧的 T， 也就是 slow 走过的距离用 a + b 来代替。
所以有
2 * t = a + N2 * d + b。。。。。。（N2 = 1, 2, 3……）。。。。。③

③ - 2 * ② 得

(2 * N1 - N2 ) * d = a + b。。。。。。。④

又 ∵ d = b + c，把它代入 ④ 可得：

(2 * N1 - N2 - 1 ) * d + b + c = a + b

于是便有：
(2 * N1 - N2 - 1) * d + c = a

这等式可以理解为：
直线段XY的步数 等于 在cycle中转 n 圈的步数 加上 弧 ZY （绿色） 段的步数 c。

也就是 a = n * d + c

那么，接下来就可以分析了。

现在 fast 和 slow 相遇在 Z 点，把 slow 拨回到出发点 X， 并且 把 fast 的速度也降为 1 步 1 格。让两者同时出发。
那么， 当 slow 从 X 走到 Y 时，slow 走了个 a 步。
而现在的 fast 跟 slow 的速度是一致的， 它也将会走过 a 步。而刚好恰恰 a 又等于 n 圈加上 出发时 fast 距离 Y 点的距离 c。
所以，当 slow 走到 Y 点的时候， fast 也刚好 转过了 n 圈之后 又回到了 Y 点。

不知道这样的解释大家清楚了没有。

以下是AC的代码：

class Solution {
public:
    ListNode *detectCycle(ListNode *head) {
        if (head == NULL)
            return NULL;
        ListNode *fast = head, *slow = head;
        while (fast->next != NULL && fast->next->next != NULL)
        {
            fast = fast->next->next;
            slow = slow->next;
            if (fast == slow)     // 当 slow 和 fast 相遇时
            {
                slow = head;      // 把 slow 拨回到起点
                while (fast != slow)    // 直到 slow 和 fast 再次相遇
                {
                    fast = fast->next;  // 这次让 fast 同样一步一个脚印地走
                    slow = slow->next;
                }
                return fast;   // 当他们再次相遇，将相遇在环的入口 Y 处
            }
        }
        return NULL;        
    }
};