理解GloVe模型（+总结）
文章目录
- 系列目录（系列更新中）
- 概述
- 统计共现矩阵
- 使用GloVe模型训练词向量
- 模型公式
- 模型怎么来的
- Glove和skip-gram、CBOW模型对比
- 实战教程
系列目录（系列更新中）
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第二讲 cs224n系列之word2vec & 词向量
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word2vec进阶之skim-gram和CBOW模型（Hierarchical Softmax、Negative Sampling）
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第三讲 cs224n系列之skip-pram优化 & Global Vector by Manning & 词向量评价
- 理解GloVe模型（+总结）
概述
- 模型目标：进行词的向量化表示，使得向量之间尽可能多地蕴含语义和语法的信息。
- 输入：语料库
- 输出：词向量
- 方法概述：首先基于语料库构建词的共现矩阵，然后基于共现矩阵和GloVe模型学习词向量。
** 开始 -> 统计共现矩阵 -> 训练词向量 -> 结束**
统计共现矩阵
设共现矩阵为X，其元素为 X i , j X_{i,j} Xi,j。
X i , j X_{i,j} Xi,j的意义为：在整个语料库中，单词i和单词j共同出现在一个窗口中的次数。
举个栗子：
设有语料库：
i love you but you love him i am sad
这个小小的语料库只有1个句子，涉及到7个单词：i、love、you、but、him、am、sad。
如果我们采用一个窗口宽度为5（左右长度都为2）的统计窗口，那么就有以下窗口内容：
| 窗口标号 | 中心词 | 窗口内容 |
|---|---|---|
| 0 | i | i love you |
| 1 | love | i love you but |
| 2 | you | i love you but you |
| 3 | but | love you but you love |
| 4 | you | you but you love him |
| 5 | love | but you love him i |
| 6 | him | you love him i am |
| 7 | i | love him i am sad |
| 8 | am | him i am sad |
| 9 | sad | i am sad |
窗口0、1长度小于5是因为中心词左侧内容少于2个，同理窗口8、9长度也小于5。
以窗口5为例说明如何构造共现矩阵：
中心词为love，语境词为but、you、him、i；则执行：
X l o v e , b u t + = 1 X_{love,but}+=1 Xlove,but+=1
X l o v e , y o u + = 1 X_{love,you}+=1 Xlove,you+=1
X l o v e , h i m + = 1 X_{love,him}+=1 Xlove,him+=1
X l o v e , i + = 1 X_{love,i}+=1 Xlove,i+=1
使用窗口将整个语料库遍历一遍，即可得到共现矩阵X。
使用GloVe模型训练词向量
模型公式
先看模型，代价函数长这个样子：
J = ∑ i , j N f ( X i , j ) ( v i T v j + b i + b j − l o g ( X i , j ) ) 2 J=\sum_{i,j}^Nf(X_{i,j})(v_{i}^Tv_{j}+b_{i}+b_{j}-log(X_{i,j}))^2 J=i,j∑Nf(Xi,j)(viTvj+bi+bj−log(Xi,j))2
v i v_{i} vi， v j v_{j} vj是单词i和单词j的词向量， b i b_{i} bi， b j b_{j} bj是两个标量（作者定义的偏差项），f是权重函数（具体函数公式及功能下一节介绍），N是词汇表的大小（共现矩阵维度为N*N）。
可以看到，GloVe模型没有使用神经网络的方法。
模型怎么来的
那么作者为什么这么构造模型呢？首先定义几个符号：
X i = ∑ j = 1 N X i , j X_{i}=\sum_{j=1}^NX_{i,j} Xi=j=1∑NXi,j
其实就是矩阵单词i那一行的和；
P i , k = X i , k X i P_{i,k}=\dfrac{X_{i,k}}{X_{i}} Pi,k=XiXi,k
条件概率，表示单词k出现在单词i语境中的概率；
r a t i o i , j , k = P i , k P j , k ratio_{i,j,k}=\dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}} ratioi,j,k=Pj,kPi,k
两个条件概率的比率。
作者的灵感是这样的：
作者发现， r a t i o i , j , k ratio_{i,j,k} ratioi,j,k这个指标是有规律的，规律统计在下表：
| r a t i o i , j , k ratio_{i,j,k} ratioi,j,k的值 | 单词j,k相关 | 单词j,k不相关 |
|---|---|---|
| 单词i,k相关 | 趋近1 | 很大 |
| 单词i,k不相关 | 很小 | 趋近1 |
很简单的规律，但是有用。
思想：假设我们已经得到了词向量，如果我们用词向量 v i v_{i} vi、 v j v_{j} vj、 v k v_{k} vk通过某种函数计算 r a t i o i , j , k ratio_{i,j,k} ratioi,j,k，能够同样得到这样的规律的话，就意味着我们词向量与共现矩阵具有很好的一致性，也就说明我们的词向量中蕴含了共现矩阵中所蕴含的信息。
设用词向量 v i v_{i} vi、 v j v_{j} vj、 v k v_{k} vk计算 r a t i o i , j , k ratio_{i,j,k} ratioi,j,k的函数为 g ( v i , v j , v k ) g(v_{i},v_{j},v_{k}) g(vi,vj,vk)（我们先不去管具体的函数形式），那么应该有：
P i , k P j , k = r a t i o i , j , k = g ( v i , v j , v k ) \dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}}=ratio_{i,j,k}=g(v_{i},v_{j},v_{k}) Pj,kPi,k=ratioi,j,k=g(vi,vj,vk)
即：
P i , k P j , k = g ( v i , v j , v k ) \dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}}=g(v_{i},v_{j},v_{k}) Pj,kPi,k=g(vi,vj,vk)
即二者应该尽可能地接近；
很容易想到用二者的差方来作为代价函数：
J = ∑ i , j , k N ( P i , k P j , k − g ( v i , v j , v k ) ) 2 J=\sum_{i,j,k}^N(\dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}}-g(v_{i},v_{j},v_{k}))^2 J=i,j,k∑N(Pj,kPi,k−g(vi,vj,vk))2
但是仔细一看，模型中包含3个单词，这就意味着要在NNN的复杂度上进行计算，太复杂了，最好能再简单点。
现在我们来仔细思考 g ( v i , v j , v k ) g(v_{i},v_{j},v_{k}) g(vi,vj,vk)，或许它能帮上忙；
作者的脑洞是这样的：
- 要考虑单词i和单词j之间的关系，那 g ( v i , v j , v k ) g(v_{i},v_{j},v_{k}) g(vi,vj,vk)中大概要有这么一项吧： v i − v j v_{i}-v_{j} vi−vj；嗯，合理，在线性空间中考察两个向量的相似性，不失线性地考察，那么 v i − v j v_{i}-v_{j} vi−vj大概是个合理的选择；
- r a t i o i , j , k ratio_{i,j,k} ratioi,j,k是个标量，那么 g ( v i , v j , v k ) g(v_{i},v_{j},v_{k}) g(vi,vj,vk)最后应该是个标量啊，虽然其输入都是向量，那內积应该是合理的选择，于是应该有这么一项吧： ( v i − v j ) T v k (v_{i}-v_{j})^Tv_{k} (vi−vj)Tvk。
- 然后作者又往 ( v i − v j ) T v k (v_{i}-v_{j})^Tv_{k} (vi−vj)Tvk的外面套了一层指数运算exp()，得到最终的 g ( v i , v j , v k ) = e x p ( ( v i − v j ) T v k ) g(v_{i},v_{j},v_{k})=exp((v_{i}-v_{j})^Tv_{k}) g(vi,vj,vk)=exp((vi−vj)Tvk)；
最关键的第3步，为什么套了一层exp()？
套上之后，我们的目标是让以下公式尽可能地成立：
P i , k P j , k = g ( v i , v j , v k ) \dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}}=g(v_{i},v_{j},v_{k}) Pj,kPi,k=g(vi,vj,vk)
即：
P i , k P j , k = e x p ( ( v i − v j ) T v k ) \dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}}=exp((v_{i}-v_{j})^Tv_{k}) Pj,kPi,k=exp((vi−vj)Tvk)
即：
P i , k P j , k = e x p ( v i T v k − v j T v k ) \dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}}=exp(v_{i}^Tv_{k}-v_{j}^Tv_{k}) Pj,kPi,k=exp(viTvk−vjTvk)
即：
P i , k P j , k = e x p ( v i T v k ) e x p ( v j T v k ) \dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}}=\dfrac{exp(v_{i}^Tv_{k})}{exp(v_{j}^Tv_{k})} Pj,kPi,k=exp(vjTvk)exp(viTvk)
然后就发现找到简化方法了：只需要让上式分子对应相等，分母对应相等，即：
P i , k = e x p ( v i T v k ) {P_{i,k}}={exp(v_{i}^Tv_{k})} Pi,k=exp(viTvk)并且 P j , k = e x p ( v j T v k ) {P_{j,k}}={exp(v_{j}^Tv_{k})} Pj,k=exp(vjTvk)
然而分子分母形式相同，就可以把两者统一考虑了，即：
P i , j = e x p ( v i T v j ) {P_{i,j}}={exp(v_{i}^Tv_{j})} Pi,j=exp(viTvj)
本来我们追求：
P i , k P j , k = g ( v i , v j , v k ) \dfrac{P_{i,k}}{P_{j,k}}=g(v_{i},v_{j},v_{k}) Pj,kPi,k=g(vi,vj,vk)
现在只需要追求：
P i , j = e x p ( v i T v j ) {P_{i,j}}={exp(v_{i}^Tv_{j})} Pi,j=exp(viTvj)
两边取个对数：
l o g ( P i , j ) = v i T v j log(P_{i,j})=v_{i}^Tv_{j} log(Pi,j)=viTvj
那么代价函数就可以简化为：
J = ∑ i , j N ( l o g ( P i , j ) − v i T v j ) 2 J=\sum_{i,j}^N(log(P_{i,j})-v_{i}^Tv_{j})^2 J=i,j∑N(log(Pi,j)−viTvj)2
现在只需要在NN的复杂度上进行计算，而不是NN*N，现在关于为什么第3步中，外面套一层exp()就清楚了，正是因为套了一层exp()，才使得差形式变成商形式，进而等式两边分子分母对应相等，进而简化模型。
然而，出了点问题。
仔细看这两个式子：
l o g ( P i , j ) = v i T v j 和 l o g ( P j , i ) = v j T v i log(P_{i,j})=v_{i}^Tv_{j}和log(P_{j,i})=v_{j}^Tv_{i} log(Pi,j)=viTvj和log(Pj,i)=vjTvi
l o g ( P i , j ) log(P_{i,j}) log(Pi,j)不等于 l o g ( P j , i ) log(P_{j,i}) log(Pj,i)但是 v i T v j v_{i}^Tv_{j} viTvj等于 v j T v i v_{j}^Tv_{i} vjTvi；即等式左侧不具有对称性，但是右侧具有对称性。
数学上出了问题。
补救一下好了。
现将代价函数中的条件概率展开：
l o g ( P i , j ) = v i T v j log(P_{i,j})=v_{i}^Tv_{j} log(Pi,j)=viTvj
即为:
l o g ( X i , j ) − l o g ( X i ) = v i T v j log(X_{i,j})-log(X_{i})=v_{i}^Tv_{j} log(Xi,j)−log(Xi)=viTvj
将其变为：
l o g ( X i , j ) = v i T v j + b i + b j log(X_{i,j})=v_{i}^Tv_{j}+b_{i}+b_{j} log(Xi,j)=viTvj+bi+bj
即添了一个偏差项 b j b_{j} bj，并将 l o g ( X i ) log(X_{i}) log(Xi)吸收到偏差项 b i b_{i} bi中。
于是代价函数就变成了：
J = ∑ i , j N ( v i T v j + b i + b j − l o g ( X i , j ) ) 2 J=\sum_{i,j}^N(v_{i}^Tv_{j}+b_{i}+b_{j}-log(X_{i,j}))^2 J=i,j∑N(viTvj+bi+bj−log(Xi,j))2
然后基于出现频率越高的词对儿权重应该越大的原则，在代价函数中添加权重项，于是代价函数进一步完善：
J = ∑ i , j N f ( X i , j ) ( v i T v j + b i + b j − l o g ( X i , j ) ) 2 J=\sum_{i,j}^Nf(X_{i,j})(v_{i}^Tv_{j}+b_{i}+b_{j}-log(X_{i,j}))^2 J=i,j∑Nf(Xi,j)(viTvj+bi+bj−log(Xi,j))2
具体权重函数应该是怎么样的呢？
首先应该是非减的，其次当词频过高时，权重不应过分增大，作者通过实验确定权重函数为：
f ( x ) = { ( x / x m a x ) 0.75 , if x < x m a x 1 , if x > = x m a x f(x) = \begin{cases} (x/xmax)^{0.75}, & \text{if $x < xmax$} \\ 1, & \text{if $x >= xmax$} \end{cases} f(x)={(x/xmax)0.75,1,if x<xmaxif x>=xmax
到此，整个模型就介绍完了。
Glove和skip-gram、CBOW模型对比
Cbow/Skip-Gram 是一个local context window的方法，比如使用NS来训练，缺乏了整体的词和词的关系，负样本采用sample的方式会缺失词的关系信息。
另外，直接训练Skip-Gram类型的算法，很容易使得高曝光词汇得到过多的权重
Global Vector融合了矩阵分解Latent Semantic Analysis (LSA)的全局统计信息和local context window优势。融入全局的先验统计信息，可以加快模型的训练速度，又可以控制词的相对权重。
我的理解是skip-gram、CBOW每次都是用一个窗口中的信息更新出词向量，但是Glove则是用了全局的信息（共线矩阵），也就是多个窗口进行更新
实战教程
GloVe 教程之实战入门+python gensim 词向量
参考链接：
理解GloVe模型