黑帽子，白帽子——一道推理题的证明

黑帽子，白帽子？

一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就鼓掌。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第n次关灯，才有劈劈啪啪的鼓掌声音响起。问有多少人戴着黑帽子？

证明

在所有人均能合理推理的情况下，无论开多少次灯，戴着白帽子的人肯定不会鼓掌，他们是一个等价类，所有戴黑帽子的人在每次开灯时看到的黑帽子的个数是一样的，除了在鼓掌之前，他还不能确定自己也是戴着黑帽子，所以，戴着黑帽子的人也属于一个等价类，他们每次的判断都是一致的。
设f(n)为黑帽子个数为n时有人鼓掌这种情况发生时的开灯次数，例如有3顶黑帽子，那么f(3)就表示鼓掌发生在第f(3)次开灯时。
1. n=1，很明显，f(1)=1，如果只有一顶黑帽子，第一次开灯时，戴着黑帽子的人看到的全是白帽子，这时，他就知道了自己一定戴着黑帽子，所以鼓掌。
2. 假设n=2,3,…,k时，f(2)=2,f(3)=3,…,f(k)=k，那么，f(k+1)=k+1? ，如果能证明f(k+1)=k+1，那么就能得出结论 f(n)=n，当然大前提是总人数要大于n。
3. 现在证明 f(k+1)=k+1，如果黑帽子有k+1顶，那么从2的假设，我们知道前k次中都不会有人鼓掌。第k次熄灯之后，事实情况是这样的：看到外面有k顶黑帽子的人是戴着黑帽子的，看到外面有k+1顶黑帽子的人则是戴着白帽子的。基于这个事实，因为前k次中都没人鼓掌，由2的假设，看到k顶黑帽子的人心里就有底了，他知道，如果他这会儿要是戴着白帽子，那么整个舞会一共就只有他看到的k顶黑帽子，那么第k次开灯时，戴着黑帽子的k个人就都会鼓掌，可这种情况并没有发生，所以他推断出自己戴着的是黑帽子，那么在第k+1次开灯时，哈哈，该是时候鼓掌啦~

黑帽子，白帽子？

有一位老师，拿了五顶帽子，其中三顶白的，两顶黑的，给三个学生看了看，然后让他们闭上眼睛，给每个学生戴上一顶帽子，并把另外两顶帽子藏起来。最后让学生睁开眼睛，要他们判断自己头上戴的是什么颜色的帽子。三个学生互相望了望，犹豫了一会儿，忽然，一个同学说：我戴的是白帽子。另一位同学也马上说：我戴的也是白帽子。第三位同学说：我戴的是黑帽子。他们都答对了。请问：他们是怎样知道自己所带帽子的颜色的？

黑帽子，白帽子 ?

有一个牢房，有3个犯人A.B.C关在其中。因为玻璃很厚，所以3个人只能互相看见，不能听到 对方说话的声音。” 有一天，国王想了一个办法，给他们每个人头上都戴了一顶帽子，只叫他们知道帽 子的颜色不是白的就是黑的，不叫他们知道自己所戴帽子的是什么颜色的。在这种情况 下，国王宣布两条如下： 1．谁能看到其他两个犯人戴的都是白帽子，就可以释放谁； 2．谁知道自己戴的是黑帽子，就释放谁。 其实，国王给他们戴的都是黑帽子。他们因为被绑，看不见自己罢了。于是他们3个 人互相盯着不说话。可是不久，心眼灵的A用推理的方法，认定自己戴的是黑帽子。您想 ，他是怎样推断的?