求解两个字符串的最长公共子序列
一，问题描述
给定两个字符串，求解这两个字符串的最长公共子序列（Longest Common Sequence）。比如字符串1：BDCABA；字符串2：ABCBDAB
则这两个字符串的最长公共子序列长度为4，最长公共子序列是：BCBA
二，算法求解
这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题，一般有两个特征：①最优子结构；②重叠子问题
①最优子结构
设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列，将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)
找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为，我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS，首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。
1）如果 xn=ym，即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同，这说明该元素一定位于公共子序列中。因此，现在只需要找：LCS(Xn-1，Ym-1)
LCS(Xn-1，Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题？因为它的规模比原问题小。（小一个元素也是小嘛....）
为什么是最优的子问题？因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的！！！换句话说，就是最优的那个。（这里的最优就是最长的意思）
2）如果xn != ym，这下要麻烦一点，因为它产生了两个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 和 LCS(Xn，Ym-1)
因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛，那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。（都不相等了，怎么公共嘛）。
LCS(Xn-1，Ym)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...yn)中找。
LCS(Xn，Ym-1)表示：最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(n-1))中找。
求解上面两个子问题，得到的公共子序列谁最长，那谁就是 LCS（X,Y）。用数学表示就是：
LCS=max{LCS(Xn-1，Ym)，LCS(Xn，Ym-1)}
由于条件 1) 和 2) 考虑到了所有可能的情况。因此，我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。
②重叠子问题
重叠子问题是啥？就是说原问题 转化 成子问题后， 子问题中有相同的问题。咦？我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊？？？？
OK，来看看，原问题是：LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1，Ym-1) ❷LCS(Xn-1，Ym) ❸LCS(Xn，Ym-1)
初一看，这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的，因为它们只重叠了一大部分。举例：
第二个子问题：LCS(Xn-1，Ym) 就包含了：问题❶LCS(Xn-1，Ym-1)，为什么？
因为，当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时，我们又需要将LCS(Xn-1，Ym)进行分解：分解成：LCS(Xn-1，Ym-1) 和 LCS(Xn-2，Ym)
也就是说：在子问题的继续分解中，有些问题是重叠的。
由于像LCS这样的问题，它具有重叠子问题的性质，因此：用递归来求解就太不划算了。因为采用递归，它重复地求解了子问题啊。而且注意哦，所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。
这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。
那么问题来了，你说用递归求解，有指数级个子问题，故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题，难道用了动态规划，就变成多项式时间了？？
呵呵哒。。。。
关键是采用动态规划时，并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说：用了动态规划之后，有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的，而不是重新又计算一遍得到的。废话少说：举个例子吧！比如求Fib数列。关于Fib数列，可参考：
求fib(5)，分解成了两个子问题：fib(4) 和 fib(3)，求解fib(4) 和 fib(3)时，又分解了一系列的小问题....
从图中可以看出：根的左右子树：fib(4) 和 fib(3)下，是有很多重叠的！！！比如，对于 fib(2)，它就一共出现了三次。如果用递归来求解，fib(2)就会被计算三次，而用DP(Dynamic Programming)动态规划，则fib(2)只会计算一次，其他两次则是通过”查表“直接求得。而且，更关键的是：查找求得该问题的解之后，就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归，是不断地将问题分解，直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))
说了这么多，还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧：）
c[i,j]表示：(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。（是长度哦，就是一个整数嘛）。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节
1 #include
2 #include
3 #include
4 using namespace std;
5 const int N = 1000;
6 char a[N],b[N];
7 int dp[N][N];
8 int main()
9 {
10 int lena,lenb,i,j;
11 while(scanf("%s%s",a,b)!=EOF)
12 {
13 memset(dp,0,sizeof(dp));
14 lena=strlen(a);
15 lenb=strlen(b);
16 for(i=1;i<=lena;i++)
17 {
18 for(j=1;j<=lenb;j++)
19 {
20 if(a[i-1]==b[j-1])
21 {
22 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
23 }
24 else
25 {
26 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
27 }
28 }
29 }
30 printf("%d\n",dp[lena][lenb]);
31 }
32 return 0;
33 }
继续补充一个，如果我们想输出这个序列怎么办呢？
简单来说就是理解dp含义就好了
1 #include
2 #include
3 #include
4 #include
5 #include
6 #include
7 #include
8 #include
9 #include
10 #include
11
12 #define ll long long
13 #define inf 0x3f3f3f3f
14 using namespace std;
15 const int MAXN = 1005;
16 const int N = 1005;
17 char a[N],b[N];
18 int dp[N][N];
19 int main()
20 {
21 int lena,lenb,i,j;
22 scanf("%s%s",a,b);
23 memset(dp,0,sizeof(dp));
24 lena = strlen(a);
25 lenb = strlen(b);
26 for(i=1;i<=lena;i++)
27 {
28 for(j=1;j<=lenb;j++)
29 {
30 if(a[i-1]==b[j-1])
31 {
32 dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
33 }
34 else{
35 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
36 }
37 }
38 }
39 int k=0;
40 char ans[1005];
41 int p = lena-1;
42 int q = lenb-1;
43 while (p>=0 && q>=0)
44 {
45 if (dp[p][q] + 1 == dp[p + 1][q + 1] && a[p] == b[q]) {
46 ans[k++] = a[p];
47 p--;
48 q--;
49 } else if (dp[p][q + 1] > dp[p + 1][q])
//可以理解第二个字符串往后走一个比一个字符串往后走一个更大 ，那么q+1位置是最大的，所以不能移动它要移动p
50 p--;
51 else // 同理
52 q--;
53 }
54 for (i=k-1;i>=0;i--)
55 {
56 printf("%c",ans[i]);
57 }
58 printf("\n");
59 return 0;
60 }
优化版本 nlogn
#include
#include
#include
#include
#include
#include
摘自 https://www.cnblogs.com/hapjin/p/5572483.html