数理逻辑5 -- 计算理论1

图灵机 Turing Machine

我读此书和做笔记主要出自于好奇心，前三章是为了搞懂神神秘秘的哥德尔不完备定理，顺便学习一阶逻辑的知识。第四章的集合论是为了以后的实分析、测度论、概率和随机过程等夯实基础，同时满足罗素悖论的好奇心。现在第五章，终于见到了自己的老本行，往好奇心方面说是为了弄懂停机问题，往夯实基础方面说是为了后续的复杂度理论和算法设计做准备，至少也要彻底弄懂P=NP究竟是什么问题。

伟大的阿兰图灵提出抽象的计算模型，提供了一种定义“算法”的手段，后人把它称作图灵机。有了图灵机，才能准确定义何为算法，何为“用算法解决某个问题”，甚至定义何为“问题”。计算模型有很多，早期的发展中有丘奇的类型论，这些计算模型后来都被证明是等价的。在这些模型中，图灵机被广泛采用，就像集合论中多采用ZFC作为基础教学一样。虽然教材采用了NBG集合论，但在计算模型上还是采用了图灵机。

图灵机是抽象的计算模型，从数学上讲，一个图灵机就是一个指令的集合。很多CS教材定义图灵机的时候，都说它是一个四元组，里面包含了字符集、状态集。教材在定义上没有那么的严格，而是采用了一种讲故事的方式来定义。

1. 字符集 Alphabet

在图灵机的世界里，一切研究对象都是字符串，CS的术语喜欢称字符（Character），而逻辑学家就喜欢称符号（Symbol）。在这里我们采用教材的讲法，称符号（Symbol），称语言（Language），称字母集（Alphabet），称单词（Word）。

在图灵机的眼里，一切物体都可被抽象成符号串。首先，有一个有限的字母集（finite alphabet） A={a0,a1,...,an} A = { a 0 , a 1 , . . . , a n } 。然后，字母集里的元素称为符号（symbol）。再次，任意有限长的符号串称为单词（word）。

注意，这里的字母集是有限集合。对于无限字母集 {a0,a1,...} { a 0 , a 1 , . . . } ，只要它可列，那么可以等价地用 {b,∗} { b , ∗ } 来表示，其中任意符号 an a n 用单词 b∗∗∗∗∗... b ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . . . ，即一个 b b 加 n n 个 ∗ ∗ 表示。

如果 P,Q P , Q 是单词，那么 PQ P Q 也是单词，即把 Q Q 写在 P P 的右边。另外，我们用 Pk P k 表示连写 k k 个单词 P P 。

2. 磁带 Tape

有了符号之后，就需要一个演算符号的地方。在图灵机的世界里，这个演算符号的媒介叫做磁带（Tape）。它是一条一维的无限长的抽象磁带，由格子（cell）组成。在任一时刻，磁带的长度是有限的。当磁头向左或向右移出磁带范围之后，随时可以补充一个格子。

磁带上每个格子可打印一个符号，其中符号 a0 a 0 保留作“空符号”，即当格子上没有符号时，我们也可以说它打印了空符号 a0 a 0 。

3. 操作 Step

基于上述定义，图灵机是一个抽象机器，它工作于离散时间，有一个“读操作”磁头，在某个时间片段读取磁带当前位置的符号，然后做以下其中之一的操作：
(1) 打印一个新符号，覆盖原有符号
(2) 磁头向右移动一格
(3) 磁头向左移动一格
(4) 停止

除此之外，图灵机还依赖于自身的状态（internal state）。我们假设图灵机的状态集是有限集合，记为 {q0,q1,...,qm} { q 0 , q 1 , . . . , q m } ，其中 q0 q 0 保留作初始状态，图灵机总是从初始状态开始工作。

图灵机的每步操作，若严格地用符号表示，则是以下三种之一：
(1) qjaiakqr q j a i a k q r ：当前状态为 qj q j ，读取的当前符号是 ai a i ，把它变成 ak a k ，状态变成 qr q r
(2) qjaiRqr q j a i R q r ：当前状态为 qj q j ，读取的当前符号是 ai a i ，磁头向右移动一格，状态变成 qr q r
(3) qjaiLqr q j a i L q r ：当前状态为 qj q j ，读取的当前符号是 ai a i ，磁头向左移动一格，状态变成 qr q r

有了上述定义，我们就可以严格定义何为一个“图灵机”。

定义5.1.1（图灵机）：一个图灵机包含了一个有限子母集 A={a0,a1,...,an} A = { a 0 , a 1 , . . . , a n } ，一个有限状态集 Q={q0,q1,...,qm} Q = { q 0 , q 1 , . . . , q m } ，以及一个有限四元组指令集合 F F ，其中每个四元组都符合(1) qjaiakqr q j a i a k q r ;(2) qjaiRqr q j a i R q r ;(3) qjaiLqr q j a i L q r 三种形式的其中一种，并且指令集 F F 的任意两个四元组（指令）的前两个符号都不一样。

上述定义的最后一句话是说，任意两个指令不能产生歧义，即相同的状态下若读取的当前符号也相同，那么只能有一个操作。还需注意的是，指令集 F F 肯定是有限的。

有了图灵机，接下来就要定义何为”计算”。简单来说，一个“计算”就是一个有限指令序列。若严格定义，首先我们要定义何为一个磁带描述（tape description）。

定义5.1.2（磁带描述）：我们说，图灵机 F F 的一个磁带描述（tape description）是指一个单词，它满足以下三个条件：
(1) 除了一个符号以外，其它所有符号都是磁带符号 ai∈A a i ∈ A ；
(2) 那个非磁带符号是状态符号 qj∈Q q j ∈ Q ；
(3) qj q j 不在最后的位置

一个磁带描述给出了图灵机当前的工作状态。从左往右读的话，那些磁带符号表示了磁带当前的符号序列，而状态符号 qj q j 表示了图灵机当前的状态 qj q j ，并且给出了当前磁头的位置，即紧接着 qj q j 右边的符号是磁头读取的符号。比如，磁带描述 a2a0q1a0a1a1 a 2 a 0 q 1 a 0 a 1 a 1 ，表示当前磁带的符号序列是 a2a0a0a1a1 a 2 a 0 a 0 a 1 a 1 ，图灵机状态是 q1 q 1 ，磁头位置在第二个 a0 a 0 上。

我们说，图灵机 F F 从一个磁带描述 α α 移动到另一个磁带描述 β β ，记作 α↪Fβ α ↪ F β ，当且仅当，以下任一情况为真（ P,Q P , Q 表示任意长度的字母集 A A 的单词）：
(1) α α 形如 PqjaiQ P q j a i Q ， β β 形如 PqrakQ P q r a k Q ，并且 qjaiakqr∈F q j a i a k q r ∈ F ，即这个四元组是一条指令；
(2) α α 形如 PasqjaiQ P a s q j a i Q ， β β 形如 PqrasaiQ P q r a s a i Q ，并且 qjaiLqr q j a i L q r 是指令；
(3) α α 形如 qjaiQ q j a i Q ， β β 形如 qra0aiQ q r a 0 a i Q ，并且 qjaiLqr q j a i L q r 是指令；
(4) α α 形如 PqjaiakQ P q j a i a k Q ， β β 形如 PaiqrakQ P a i q r a k Q ，并且 qjaiRqr q j a i R q r 是指令；
(5) α α 形如 Pqjai P q j a i ， β β 形如 Paiqra0 P a i q r a 0 ，并且 qjaiRqr q j a i R q r 是指令

注意，上面(3)、(5)分别对应磁头在最左和最后的情况，这时向左和向右移动后，磁带自动写入一个空字符 a0 a 0 。

对于一个磁带描述 α α ，若不存在磁带描述 β β ，使得 α↪Fβ α ↪ F β 的话，那么图灵机就停了下来。此时， qjai q j a i 在 α α 中，但却没有指令以 qjai q j a i 作开头。

定义5.1.3（计算）：我们说，一个计算（computation），是指一个磁带描述的有限序列 α0,...,αk(k≥0) α 0 , . . . , α k ( k ≥ 0 ) ，使得以下条件成立：
(1) α0 α 0 是初始磁带描述，即 α0 α 0 中包含的状态符号是 q0 q 0 ；
(2) ai↪Fai+1，0≤i≤k a i ↪ F a i + 1 ， 0 ≤ i ≤ k ；
(3) F F 于 ak a k 时停止；

我们说，一个计算 a0,...,ak a 0 , . . . , a k ，从 a0 a 0 开始，到 ak a k 停止。如果存在一个以 a0 a 0 为始的图灵机 F F ，我们就说 F F 适用于 a0 a 0 。

定义5.1.4（算法）：我们说，一个由图灵机 F F 确定而出的算法（Algorithm），记为 AlgF A l g F 满足以下条件：对于字母集 A A 中任意两个单词 P P 和 Q Q ， AlgF(P)=Q A l g F ( P ) = Q 成立，当且仅当，存在 F F 的一个计算，它始于磁带描述 q0P q 0 P ，终于磁带描述 R1qjR2 R 1 q j R 2 ，其中 Q=R1R2 Q = R 1 R 2

注意， AlgF A l g F 可对某些单词 P,Q P , Q 没有定义，我们定义的是 AlgF(P)=Q A l g F ( P ) = Q ，而不是所谓的通用的 AlgF A l g F 。图灵机确定而出的算法，称为图灵机算法(Turing algorithm)。

数论函数的图灵机算法

我们来看看如何用图灵机实现一些基本的数论函数，例如零函数 Z(x)=0 Z ( x ) = 0 ，后继函数 N(x)x+1 N ( x ) x + 1 ，等等。

为了方便，教材里用 B B 表示空字符 a0 a 0 ，用 | | 表示符号 a1 a 1 。对于自然数 k k ，要表示它可用 k k 个连续的字符 | | 表示，但为了方便，我们写作 |k+1 | k + 1 ，其中 | | 表示 0 0 。然后，n元组 (k1,k2,...kn) ( k 1 , k 2 , . . . k n ) 可用 k1Bk2B...Bkn k 1 B k 2 B . . . B k n 表示（其中每个 ki k i 都要变成 |i+1 | i + 1 ）。

我们说，一个图灵机 F F 计算了某个部分函数（partial function） fF,1 f F , 1 （即只对某些自然数有定义），使得 fF,1(k)=m f F , 1 ( k ) = m ，当且仅当， AlgF(k) A l g F ( k ) 有定义，并且 AlgF(k)=E1mE2 A l g F ( k ) = E 1 m E 2 ，其中 E1,E2 E 1 , E 2 是空字符 B B 组成的任意有限长（可能长度为0）符号串。

函数 fF,1 f F , 1 称为图灵可计算（Turing-computable）。因此，一个一元部分函数(one-place partial function) f f 是图灵可计算，当且仅当，存在一个图灵机 F F ，使得 f=fF,1 f = f F , 1 。

类似的，我们可定义n元函数的图灵可计算。

例1：考虑字符集 {B,|} { B , | } ，要计算后继函数 N(x)=x+1 N ( x ) = x + 1 ，可实现一个图灵机 F F ，它包含如下两条指令：

q0|Lq1,q1B|q2 q 0 | L q 1 , q 1 B | q 2

。因此，存在一个计算 q0k↪q1Bk↪q2(k+1) q 0 k ↪ q 1 B k ↪ q 2 ( k + 1 ) ，它计算了后继函数。

例2：要计算零函数 Z(x)=0 Z ( x ) = 0 ，可实现图灵机：

q0|Bq1,q1BRq0,q0B|q2 q 0 | B q 1 , q 1 B R q 0 , q 0 B | q 2

。因此，给定一个自然数 k k ，它先把每个符号 | | 变成 B B ，然后右移一格，再把 | | 变成 B B ，直到右移遇见 B B ，然后把 B B 变成 | | ，状态变成 q2 q 2 ，停下来，磁带最后的符号串是 B...B| B . . . B | ，即表示自然数 0 0 。

例3：对于投影函数 U(x1,x2)=x2 U ( x 1 , x 2 ) = x 2 ，可实现图灵机：

q0|Bq1,q1BRq0,q0BRq2 q 0 | B q 1 , q 1 B R q 0 , q 0 B R q 2

。因此，对于自然数 k1,k2 k 1 , k 2 ，它的磁带表示是 |||||B||||| | | | | | B | | | | | ，从左往右依次把 | | 变成 B B ，然后遇见 B B 就右移一格，状态变成 q2 q 2 ，然后停下来。

最后，我们来看一个简单的引理，加深对图灵机的印象。

引理5.1.1：若一个函数 f f 是图灵可计算，那么它可被无数个不同的图灵机计算。
证明：如果 f f 能被图灵机 F0 F 0 计算，记这个图灵机的状态集为 Q0={q1,q2,...,qm} Q 0 = { q 1 , q 2 , . . . , q m } 。因此，存在一个 F0 F 0 的计算，它终于某个磁带描述 qsaj q s a j 。那么，存在图灵机 Fi,i≥1 F i , i ≥ 1 ，使得状态集为 Qi={q1,...,qm,qm+1,...,qm+i} Q i = { q 1 , . . . , q m , q m + 1 , . . . , q m + i } ，并且指令集中相较于 F0 F 0 ，增加了指令 qsajRqm+i q s a j R q m + i 。说白了，就是我们总能给出一个新的图灵机，它状态比之前的多一个，之前停止的地方右移一格，状态由 qs q s 变成这个新增的状态 qm+i q m + i 。显然，这样的图灵机有无穷多个。 □ ◻