线性代数系列一：行列式的概念和性质

行列式：

一、行列式的概念

1 有行有列，再加两根竖线，这种形式谓之行列式。

 

第一行第一列的元素为3，记作a11=3,依次类推。

 

2 余子式，去掉一个元素所在的行和列，剩余的部分就叫做这个元素的余子式。

 

第一行第一列的余子式为

 

用M11表示第一行第一列的元素的余子式，依次类推。

 

3 代数余子式：给余子式加上适当的正负号，适当的规则为-1的n次方，n等于该元素所在的行和列数值之和。

 

第一行第一列的代数余子式为：

 

记作A11

 

4 行列式的计算：按照任何一行或者任何一列展开，所谓的展开就是一个元素和它的代数余子式的乘积。注意，是任何一行或者一列。

 

说到这里，应该明白行列式代表的是一个数。

这里有两个小技巧，第一行列式展开时，每行每列展开的效果都是一样的，所以展开时尽量选择零最多的行（列）,可以大大减少工作量，因为0乘一个数为0。第二代数余子式的正负号，可以通过数数的方式，因为是正负号间隔出现的的。

 

二、行列式的性质

 行列式的性质：

1  行和列交换，值不变，从上面的计算也可以知道，行和列展开是一样的，这说明行列式中行和列的地位是一样的。该性质告诉我们，在实际计算中，应该找寻0最多的行或列进行展开。

 

 

2 两行交换，其值变号。目前还暂未发现实际用处。

 

 

3 若某一行有公因子，则可以提到竖线外边,小的数字更加方便观察。从性质一可以得到行列交换之后结果是一样的，需要注意的是，系数是某一行的，而不是所有行和列公共的。

 

 

4 对行进行倍加运算，其值不变，目的是让某一行多出零，从而更方便展开计算。问题，这一性质是怎么得来的？

 

 

此外介绍几种常见的特殊行列式

 

1 上三角，对角线之上均为0，这种类型的行列式值为对角线元素的乘积.

 

 

2 两行成比例，行列式为0，由倍加运算的性质可以得到。

 

第一行和第三行成比例，由倍加运算可以让其中一行都成为0，因此按照这行展开，整个行列式展开，值为0.

 

总结：

        本节学习了两个内容：

        第一行列式的概念。

        第二行列式的计算。

        行列式的计算要懂得观察，观察行和列的整体特点，观察的目的就是要利用行列式的性质来最大限度的计算行列式的值，但是学习中观察浪费的时间有多少？这因人而异，眼神是关键，有的人就可以用眼神“杀人”。同时本节也留下来两个问题：第一，行列式的本质是什么，数学中到底用它来做什么？第二，行列式的性质四是如何得到的？