计算机通过主元来计算行列式，但还有另外两种方法，一种是大公式，由 \(n!\) 项置换矩阵组成；另一种是代数余子式公式。
主元的乘积为 \(2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} = 5\)。
大公式有 \(4!=24\) 项，但只有 5 个非零项。
\[det A = 16-4-4-4+1 = 5\]
16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积，其余的通过公式我们也都可以找到。
- 代数余子式公式用第一行的数字 2，-1，0， 0分别乘以它们的代数余子式 4， 3， 2， 1，得到 8-3 = 5。
1. 主元公式
消元过程会让主元 \(d_1,\cdots,d_n\) 最后出现在矩阵 \(U\) 的对角线上，如果没有行交换，那么有：
\[det A = (det L)(det U) = (1)(d_1d_2\cdots d_n)\]
如果有行交换，那么有 \(PA=LU\) 而且有 \(|P| = \pm1\)，所以
\[det A = \pm(d_1d_2\cdots d_n)\]
如果主元的个数少于 \(n\)，那么 \(det A=0\)，矩阵是不可逆的。
- 例 1
- 例 2
\[det A = 2 * \frac{3}{2}* \frac{4}{3}* \frac{5}{4} \cdots *\frac{n+1}{n} = n+1\]
而且，我们可以看到，前 \(k\) 个主元来自于矩阵 \(A\) 左上角大小为 \(k×k\) 的矩阵 \(A_k\)。
\[det A_k = d_1d_2\cdots d_k\]
假设没有行交换，那在我们消元的过程中，有 \(A_k = L_kU_k\)，因此
\[\frac{det\space A_k}{det \space A_{k-1}}=\frac{det\space U_k}{det \space U_{k-1}} \to d_k=\frac{d_1d_2\cdots d_{k-1}d_k}{d_1d_2\cdots d_{k-1}}\]
2. 大公式
大公式直接利用矩阵中的每一个元素来计算行列式，一个 \(3×3\) 矩阵的计算公式如下所示。
注意到，每一项乘积的三个元素都分别来自于矩阵中的三行和三列，而其前面的符号其实是由置换矩阵来决定的。
由行列式的线性性质我们可以将一个 \(2×2\) 矩阵的行列式分成四项：
其中，第一个和第四个行列式为 0，因为它们有全零列。因此，只余下 \(2!=2\) 项需要计算。
对于一个 \(3×3\) 的矩阵，其行列式可以分成 27 项，但只有 6 个非零项。
前面三个置换矩阵有偶数次行交换，因此其行列式为 1；而后面三个置换矩阵有奇数次行交换，因此其行列式为 -1。
因此，矩阵 \(A\) 的行列式是 \(n!\) 项简单行列式的和，每一项的系数是 1 或者 -1，其中简单的行列式是从每一行每一列中选取一个元素组成。
3. 代数余子式公式
利用行列式的线性性质，我们将第一行的三个元素分别提取出来，可以得到。
其中，括号里面的项称为代数余子式（cofactor），它们是 \(2×2\) 矩阵的行列式。第一行贡献出因子 \(a_{11}，a_{12}，a_{13}\)，余下的行贡献出代数余子式 \(C_{11}，C_{12}，C_{13}\)，然后行列式的值就是 \(a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13}\)。
接下来，我们需要注意符号。要计算 \(C_{1j}\)，我们划掉第 \(1\) 行第 \(j\) 列来产生一个大小为 \(n-1\) 的子矩阵 \(M_{1j}\)，然后
\[C_{1j} = (-1)^{1+j} det \space M_{1j}\]
\[det \space A = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\cdots +a_{1n}C_{1n}\]
注意，对其它行来说，也有同样的情况。对 \(C_{ij}\) 来说，我们划掉第 \(i\) 行第 \(j\) 列来产生一个大小为 \(n-1\) 的子矩阵 \(M_{ij}\)。
\[C_{ij} = (-1)^{i+j} det \space M_{ij}\]
\[det \space A = a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+\cdots +a_{in}C_{in}\]
同时，行列式也可以沿着某一列进行计算。
\[det \space A = a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}\]
代数余子式公式在矩阵中有许多零时是非常有用的。
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