《数学与泛型编程：高效编程的奥秘》一2.1 埃及乘法算法

2.1　埃及乘法算法

与所有的古文明一样，埃及的计数系统也没有按位置计数这一概念，而且无法表示0。于是，乘法计算起来就特别困难，只有少数受过训练的专家才会做。（你可以想象一下：如果自己只能像使用罗马数字那样来做运算，而且要计算的数字又很大，那么算起来是相当困难的。）
怎样来定义乘法呢？宽泛地说，我们可以认为乘法就是“把某物多次加到它自己上面”，如果说得严谨一些，那么可以分两种情况来定义：一种情况是乘以1，另一种情况是乘以一个大于1的数。
我们将乘以1的乘法运算，定义如下：
1a = a（2.1）
接下来需要定义另一种情况，也就是怎样根据某数的n倍来计算其n+1倍。有些读者或许已经发现这是一个归纳的过程，本书稍后会以更为正规的形式来使用归纳法。
（n + 1）a = na + a（2.2）
有一种办法可以计算n与a的乘积，那就是把n个a连加起来。然而这种办法对于较大的数字来说相当乏味，因为总共要计算n-1次加法才行。此算法可以用C++代码表示为：

上面这个函数中的两行代码分别与等式（2.1）及等式（2.2）相对应。和古埃及人计算乘法时的情况一样，a与n都必须是正数。
阿姆士所描述的乘法算法，古希腊人将其称为“埃及乘法”（Egyptian multiplication），而现在有很多人则把它叫做“俄罗斯农夫算法”（Russian Peasant Algorithm）。这种算法所依据的原理是：
4a =（（a + a）+ a）+ a
=（a + a）+（a + a）
这个原理是根据加法结合律推算出来的：
a +（b + c）=（a + b）+ c
如果采用这个办法，那么只需把a + a的值计算一次就行了，这样可以降低加法运算的次数。
埃及乘法算法的思路是：反复地将n减半，并将a加倍，同时求出a的各种倍数，这些倍数与a的比值都是2的整数次幂。在那个时代，算法并不是用a或n这样的变量来描述的，而是以具体的数字举例，然后说：“同样的操作还可以运用在其他数字上面”。阿姆士自然也不例外，他以41×59（也就是说n = 41，a = 59）为例，演示了怎样通过下面这种表格来执行该算法：
1 √ 59
2 118
4 236
8 √ 472
16 944
32 √ 1888
表格左边那一列的数字都是2的整数次幂，而对于右边那一列来说，其中的每一个数字都是它上方那个数字的两倍（之所以要采用这种反复翻倍的办法来列表，是因为把同一个数字加到它自己上面计算起来要相对容易一些）。如果用二进制的形式来表示41这个数，那么值为1的那些二进制位就可以与表格中勾选的那些行分别对应起来。于是，这张表格实际上就相当于下面这个算式：
41×59 =（1×59）+（8×59）+（32×59）
该等式的右侧出现了几个59的倍数值，这些倍数值都可以通过对59进行适当的翻倍而计算出来。
由于该算法在将n减半的时候需要判断n是奇数还是偶数，因此尽管没有直接的证据，但我们依然能够推测出：古埃及人已经知道了奇数和偶数之间的区别。因为古希腊人宣称他们是从埃及人那里学到数学的，所以这一点是可以肯定的。如果把埃及人定义奇数和偶数的办法表示成现代的数学记号，那就是：

此外，我们还要依赖下面这个关系式：
odd（n） half（n）= half（n-1）
现在，就可以用C++代码把埃及乘法算法实现出来了：

odd(x)函数可以通过判断x的最低有效位来实现，而half(x)函数则可以通过对x右移来实现：

multiply1函数要执行多少次加法呢？每次调用该函数时，它都要执行a + a语句中的那个加法运算，而由于我们在对n减半的过程中会递归地调用该函数，因此总共要调用log n次。此外，有些时候还需要执行result + a语句中的那个加法运算，于是总的加法次数就是：

# +（n）= ?log n? +（v（n）-1）

其中的v(n)表示在n的二进制形式中有多少个值为1的二进制位，这个数量也称为种群计数（population count、pop count）。至此，我们已经把一个复杂度为O(n)的算法，优化成了复杂度为O(log n)的算法。
这个算法总是最优的吗？其实并不是这样。比方说，如果要计算某数与15的积，那么按照刚才的公式，总共需要执行的加法次数就是：

# +（15）= 3 + 4-1 = 6

然而实际上只需要像下面这样，执行5次加法就够了：

上面这种连加操作称为加法链（addition chain）。我们刚才找到了15这个数字的最优加法链（optimal addition chain）。尽管阿姆士所记录的算法在某些情况下并不是最优的，但它毕竟可以很好地应对许多数字。
习题2.1　对于每一个小于100的正整数n来说，寻找其最优加法链。
在阅读这部分内容的时候，你可能会发现，如果第一个数比第二个数要大，那么把两者交换之后再进行运算应该会更快一些（例如计算3×15，要比计算15×3更为容易）。确实是这样，而且古埃及人也知道这一点。但笔者此处并不打算把这个优化技巧运用到算法中，因为我们将要在第7章对算法进行泛化，使它不仅可以用整数当参数，而且还可以用整数之外的其他类型做参数，到了那个时候，参数之间的顺序就会变得很重要了。