【小波分析】学习笔记（二）：傅里叶变换和短期傅里叶变换

基本法则

我们需要小波变换来进行非平稳信号（如，信号频率随时间改变）。已经明确说明傅里叶变换不适合非平稳信号。为了更好地回顾，给出如下例子 ：

假定有两个不同的信号，且他们具有相同的波谱构成，它们之间只有一个主要的区别：一个信号在同一时间具有所有的频率，另一个信号在四个不同时段分别包含这四个频率的其中一个。虽然这两个信号完全不同，但是这两个信号的傅里叶变换一样。这个例子向我们证明了，傅里叶变换不适合非平稳信号。

傅里叶变换

这里不会很细致地讲解傅里叶变换，原因有两点：

• 对于这个教程来数，傅里叶变换的范围太广；
• 傅里叶变换不是我们关心的主要问题。

然而，需要讲解傅里叶变换有两个重要的原因：

• 傅里叶变换是理解小波变换的一个重要基础；
• 到目前为止，傅里叶变换是应用了很多年的变换方法。

1822年，法国数学家 J.Fourier 发现，任何周期函数都可以表示为周期复指数函数的无穷和。他发现周期函数的这个显著性质的多年后，他的思想被推广到第一类非周期函数，接着被推广到周期、非周期离散时间信号。1965年，一个被称为 fastFourierTransform 的算法被建立，傅里叶变换被广泛应用。

下面讲解傅里叶变换是如何运作的：

傅里叶变换将信号分解为不同频率的复指数函数。其具体操作，是通过如下两个等式：

X(f)=∫+∞−∞x(t)⋅e−2jπftdt.........(1)

x(t)=∫+∞−∞X(f)⋅e2jπftdf..........(2)

其中， t 代表时间， f 代表频率， x、X 代表需要分解的信号。 需要注意的一点是， x 代表时域信号， X 代表频域信号。等式（1）是 x(t) 的傅里叶变换，等式（2）是 X(f) 的反傅里叶变换。

仔细观察等式（1），在一定的频率下，信号 x(t) 乘以指数项，然后将所有时间范围整合起来。

等式（1）中的指数项也可以表示成如下形式：

Cos(2.pi.f.t)+j.Sin(2.pi.f.t).........(3)

上述表达式中的实部是频率 f 的余弦，虚部是频率 f 的正弦。所以，我们实际上要做的是，用原始信号乘以一个含有频率 f 正弦和余弦的复杂的表达式，然后，我们将结果机集成 integration。换句话说，我们将所有的点加在结果中。如果集成（一种无限求和）的结果是一个非常大的值，我们可以说，the signal x(t), has a dominant spectral component at frequency “f”。这意味着，这个信号的主要组成部分是频率。如果集合的结果是一个非常小的值，这就意味着，这个信号没有主频率成分。如果集合的结果为0，这个信号就不包含频率成分。

了解这种 (integration) 集合过程如何实现具有重要意义：信号与频率的正弦项相乘。

重点：积分所提供的信息与所有的时间实例相对应，因为积分范围是从正无穷到负无穷的所有时间。因此，无论频率分量出现于何时何地，它都会影响积分的结果。换句话说，无论频率分量时出现于 t1 时刻还是 t2 时刻，它们对积分都会产生同样的影响。这就是为什么傅里叶变换不适合处理频率随时间变化的信号。只有当信号的频率分量总是存在于任何时刻（对于任何 t 都有对应的 f ），这是傅里叶变换的结果才是有意义的。

值得注意的一点是，傅里叶变换可以告诉我们某个频率分量是否存在。这一信息是独立于实现存在的。因此，在进行傅里叶变换前，了解信号是否是平稳信号很重要。

下图中，给出了这样一个信号：

x(t)=cos(2∗pi∗5∗t)+cos(2∗pi∗10∗t)+cos(2∗pi∗20∗t)+cos(2∗pi∗50∗t)

也就是说，这个信号包含有四个频率分量：5/10/20/50 Hz ，它们存在于每时每刻。

下面是它的傅里叶变换。频率轴被截掉一部分，但是理论上来说频率轴应延伸到无限远。事实上，这里我们计算离散傅里叶变换，在这种情况下，频率轴至少上升到频率采样值的两倍，且转换信号是对称的，但是现在来说，这并不重要。

上图中的四个峰对应四个不同的频率。

再看下图，这个信号也是一个余弦信号，它也一样具有四种不同的频率。然而，这些频率在不同的时刻出现。

下面给出这个信号的傅里叶变换：

这四个主要的峰非标频率5/10/20/50 Hz 。峰和峰之间的噪声说明，这些频率也在信号中存在。但是它们的振幅很小的原因是，他们不是所给信号的主要频率，我们可以观察到它们的原因是频率之间的突然变换。特别需要注意的是，时域信号如何在250毫秒中变换（使用一些合适的滤波方法，频域信号中存在的噪声可以被消解，但是这对我们的工作没有任何帮助。）

到目前为止，你应该理解了傅里叶变换的基础概念，以及傅里叶变换在何种情况下使用合适。我们可以从例子中看到，傅里叶变换不能很好的区分两种信号。对于傅里叶变换来说，这两种信号是一样的，因为它们中包含着相同的频率分量。因此，傅里叶变换在分析非平稳信号时不是一个很好的工具。

短期傅里叶变换

我们可以假设，非平稳信号中有平稳的部分。

如果信号中可以被假定为平稳的区域很小，我们可以将其区域视为窄窗。