【小波分析】学习笔记(二):傅里叶变换和短期傅里叶变换

基本法则

我们需要小波变换来进行非平稳信号(如,信号频率随时间改变)。已经明确说明傅里叶变换不适合非平稳信号。为了更好地回顾,给出如下例子 :

假定有两个不同的信号,且他们具有相同的波谱构成,它们之间只有一个主要的区别:一个信号在同一时间具有所有的频率,另一个信号在四个不同时段分别包含这四个频率的其中一个。虽然这两个信号完全不同,但是这两个信号的傅里叶变换一样。这个例子向我们证明了,傅里叶变换不适合非平稳信号。

傅里叶变换

这里不会很细致地讲解傅里叶变换,原因有两点:

  • 对于这个教程来数,傅里叶变换的范围太广;
  • 傅里叶变换不是我们关心的主要问题。

然而,需要讲解傅里叶变换有两个重要的原因:

  • 傅里叶变换是理解小波变换的一个重要基础;
  • 到目前为止,傅里叶变换是应用了很多年的变换方法。

1822年,法国数学家 J.Fourier 发现,任何周期函数都可以表示为周期复指数函数的无穷和。他发现周期函数的这个显著性质的多年后,他的思想被推广到第一类非周期函数,接着被推广到周期、非周期离散时间信号。1965年,一个被称为 fastFourierTransform 的算法被建立,傅里叶变换被广泛应用。

下面讲解傅里叶变换是如何运作的:

傅里叶变换将信号分解为不同频率的复指数函数。其具体操作,是通过如下两个等式:

X(f)=+x(t)e2jπftdt.........(1)

x(t)=+X(f)e2jπftdf..........(2)

其中, t 代表时间, f 代表频率, xX 代表需要分解的信号。 需要注意的一点是, x 代表时域信号, X 代表频域信号。等式(1)是 x(t) 的傅里叶变换,等式(2)是 X(f) 的反傅里叶变换。

仔细观察等式(1),在一定的频率下,信号 x(t) 乘以指数项,然后将所有时间范围整合起来。

等式(1)中的指数项也可以表示成如下形式:

Cos(2.pi.f.t)+j.Sin(2.pi.f.t).........(3)

上述表达式中的实部是频率 f 的余弦,虚部是频率 f 的正弦。所以,我们实际上要做的是,用原始信号乘以一个含有频率 f 正弦和余弦的复杂的表达式,然后,我们将结果机集成 integration。换句话说,我们将所有的点加在结果中。如果集成(一种无限求和)的结果是一个非常大的值,我们可以说,the signal x(t), has a dominant spectral component at frequency “f”。这意味着,这个信号的主要组成部分是频率。如果集合的结果是一个非常小的值,这就意味着,这个信号没有主频率成分。如果集合的结果为0,这个信号就不包含频率成分。

了解这种 (integration) 集合过程如何实现具有重要意义:信号与频率的正弦项相乘。

重点:积分所提供的信息与所有的时间实例相对应,因为积分范围是从正无穷到负无穷的所有时间。因此,无论频率分量出现于何时何地,它都会影响积分的结果。换句话说,无论频率分量时出现于 t1 时刻还是 t2 时刻,它们对积分都会产生同样的影响。这就是为什么傅里叶变换不适合处理频率随时间变化的信号。只有当信号的频率分量总是存在于任何时刻(对于任何 t 都有对应的 f ),这是傅里叶变换的结果才是有意义的。

值得注意的一点是,傅里叶变换可以告诉我们某个频率分量是否存在。这一信息是独立于实现存在的。因此,在进行傅里叶变换前,了解信号是否是平稳信号很重要。

下图中,给出了这样一个信号:

x(t)=cos(2pi5t)+cos(2pi10t)+cos(2pi20t)+cos(2pi50t)

也就是说,这个信号包含有四个频率分量:5/10/20/50 Hz ,它们存在于每时每刻。
【小波分析】学习笔记(二):傅里叶变换和短期傅里叶变换_第1张图片

下面是它的傅里叶变换。频率轴被截掉一部分,但是理论上来说频率轴应延伸到无限远。事实上,这里我们计算离散傅里叶变换,在这种情况下,频率轴至少上升到频率采样值的两倍,且转换信号是对称的,但是现在来说,这并不重要。

【小波分析】学习笔记(二):傅里叶变换和短期傅里叶变换_第2张图片

上图中的四个峰对应四个不同的频率。

再看下图,这个信号也是一个余弦信号,它也一样具有四种不同的频率。然而,这些频率在不同的时刻出现。
【小波分析】学习笔记(二):傅里叶变换和短期傅里叶变换_第3张图片

下面给出这个信号的傅里叶变换:

【小波分析】学习笔记(二):傅里叶变换和短期傅里叶变换_第4张图片

这四个主要的峰非标频率5/10/20/50 Hz 。峰和峰之间的噪声说明,这些频率也在信号中存在。但是它们的振幅很小的原因是,他们不是所给信号的主要频率,我们可以观察到它们的原因是频率之间的突然变换。特别需要注意的是,时域信号如何在250毫秒中变换(使用一些合适的滤波方法,频域信号中存在的噪声可以被消解,但是这对我们的工作没有任何帮助。)

到目前为止,你应该理解了傅里叶变换的基础概念,以及傅里叶变换在何种情况下使用合适。我们可以从例子中看到,傅里叶变换不能很好的区分两种信号。对于傅里叶变换来说,这两种信号是一样的,因为它们中包含着相同的频率分量。因此,傅里叶变换在分析非平稳信号时不是一个很好的工具。

短期傅里叶变换

我们可以假设,非平稳信号中有平稳的部分。

如果信号中可以被假定为平稳的区域很小,我们可以将其区域视为窄窗。

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