霍夫变换（主要说明检测直线及圆的原理）

霍夫变换是图像处理中从图像中识别几何形状的基本方法之一，应用很广泛，也有很多改进算法。主要用来从图像中分离出具有某种相同特征的几何形状（如，直线，圆等）。最基本的霍夫变换是从黑白图像中检测直线(线段)。
一、直线检测
1.直线的表示方式
对于平面中的一条直线，在笛卡尔坐标系中，常见的有点斜式，两点式两种表示方法。然而在hough变换中，考虑的是另外一种表示方式：使用（r,theta）来表示一条直线。其中r为该直线到原点的距离，theta为该直线的垂线与x轴的夹角。如下图所示。

也就是霍夫变换中表示一条直线的参数变成了（r,theta）。
2.如何判断多个点是否在同一直线上
当我们的对象变成点时，我们知道一个点可以发射出无数条直线，根据霍夫变换的直线表达形式，假设这个点为i,则通过这个点的直线我们用（ri,thetai）表示。再假设一个点为j，则通过点j的一系列直线我们用（rj,thetaj）表示。我们知道两点决定一条直线，所以这两个点的直线必定有ri=rj,thetai= thetaj的时候。
那如果是三个点呢，假设第三个点是k，则通过k点的一系列直线为（rk,thetak）,如果三点在一条直线上，那必定有某个ri=rj=rk = r,thetai = thetaj= thetak = theta。
在霍夫变换检测直线时我们需要找到这样一样直线，如何找到这条直线呢？
3.如何检测出直线
假设有N个点，我们要检测其中的直线，也就是我们要找到具体的r和theata。对于上面所说的每个点可以通过无数条直线，这里我们设为n条（通常 n = 180），则我们一起可以找到Nn个（r, theata），对这Nn个（r,theata）,我们可以利用统计学，统计到在theta=某个值theta_i时，多个点的r近似相等于r_i。也就是说这多个点都在直线（r_i,theta_i）上。
4.举例说明
如果空间中有3个点，如何判断这三个点在不在一个直线上，如果在，这条直线是的位置为？

这个例子中，对于每个点均求过该点的6条直线的（r,theta）坐标，共求了3*6个（r,theta）坐标。可以发现在theta=60时，三个点的r都近似为80.7，由此可判定这三个点都在直线（80.7，60）上。
通过 r-o-theta 坐标系可更直观表示这种关系，如下图：图中三个点的（r,theta）曲线汇集在一起，该交点就是同时经过这三个点的直线。

在实际的直线检测情况中，如果超过一定数目的点拥有相同的（r,theta）坐标，那么就可以判定此处有一条直线。在r-O-theta 坐标系图中，明显的交汇点就标示一条检测出的直线。
如下图，可以判定出平面上的点共构成了两条直线，即检测出两条直线。

上面参考：http://blog.163.com/yuyang_tech/blog/static/21605008320130233343990/
这里插入一个用opencv进行霍夫变化检测直线的例子
http://blog.sina.com.cn/s/blog_60b330b801018md4.html
先进行边缘提取，再设置一些线段的容忍长度，可以检测到直线。

二、圆检测
1.圆的表示方式
两点确定一条直线，不在一条直线上的三点确定一个圆。与使用（r,theta）来表示一条直线相似，使用（a,b,r）来确定一个圆心为（a,b）半径为 r 的圆。
2.如何判断多个点是否在一个圆上
同样经过一个点可以作出无数个圆，假设某个点平面坐标为(xi,yi)，使用的参数为（ai,bi,ri）则经过此点的圆的表达式为（xi-ai）^2 +（yi-bi） ^ 2=ri ^ 2。对于点（xj,yj）,必定存在（aj,bj,rj）使得 近似计算中 ai=aj,bi= bj, ri = rj，即两个点在同一个圆上；同理如果三个点在同一个圆上，则也必须存在 ai=aj =ak = a, bi=bj=bk = b, ri=rj=rk = r 的情况。
3.如何检测圆
要将圆检测出来，也就是要将上述的（a,b,r）求解出来。
假设r确定，此时点（x,y）又已知，根据（x-a）^2 +（y-b） ^ 2=r ^ 2 ，则（a,b）的轨迹在几何上则变成了以（x,y）为圆心，r为半径的圆；而r不确定时，（a,b，r）的轨迹变成了以（x,y）为顶点的一个圆锥。则（ai,bi,ri）,(aj,bj,rj), (ak,bk,rk)的圆为下图中圆锥面的角点A。

例子用一个opencv的霍夫变换检测圆：
https://blog.csdn.net/kh1445291129/article/details/45674417
找到灰度图后进行双边滤波，利用houghcircle检测圆，再利用circle将圆显示出来。

三、其他形状
无论是直线还是圆，都是根据本身的几何形状的数学性质，直线根据极坐标的（r,theta）来表示,圆根据（a,b,r）来表示。要检测出直线或者圆其实就是要找到这样的（r,theta）或者（a,b,r）。根据相关的直线或圆的表达式反推出（r,theta）及（a,b,r）的轨迹，相应轨迹的交点就是要找到的直线或圆或想要找到的形状。