《数字图像处理》第5讲——傅里叶变换
虽然写这个博客主要目的是为了给我自己做一个思路记忆录，但是如果你恰好点了进来，那么先对你说一声欢迎。我并不是什么大触，只是一个菜菜的学生，如果您发现了什么错误或者您对于某些地方有更好的意见，非常欢迎您的斧正！
目录
楔子
①傅里叶变换的作用
②知识储备
1、泰勒级数
2、欧拉公式（真正的宇宙第一公式）
3、三角级数
4、三角函数系的正交性
③傅里叶变换对
④傅立叶变换的相关概念
⑤一维傅立叶逆变换
⑥傅立叶谱的平移
⑦傅立叶变换频谱
⑧二维Fourier变换的应用
1、Fourier变换在图像滤波中的应用
2、Fourier变换在图像压缩中的应用
3、Fourier变换在卷积中的应用
楔子
之前就已经总结过一次，但是我觉得真的写的晦涩难懂，都是公式，让我感觉哪怕以后自己再看这篇文章，连自己都不会有勇气去读完它。于是只好破釜沉舟，重新学习傅里叶！（其实我已经学过这个了，现在学习这个数字图像处理，竟然又遇到了傅里叶，不得不感慨，它真的无所不在！大学里总是伴随着泰勒、拉格朗日、柯西、傅里叶，但是不得不承认，傅里叶变换真的很牛！）我不是知识的讲述者，我只是一个大佬们对这些知识的理解的搬运工。
强烈推荐两篇文章：
傅里叶分析之掐死教程（完整版）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
欧拉公式——真正的宇宙第一公式
http://k.sina.com.cn/article_6385529085_17c9b70fd001006gjp.html?from=science
以下就是正文部分了。
①傅里叶变换的作用
首先你搜索“傅里叶变换”，你将得到一个公式：
你会想，它的意义是什么呢？我要这个公式有何用！
我们不难发现，傅里叶变换总是伴随着“信号”，看一下下图中这个原信号，是不是晦涩难懂，而傅里叶变换的作用，就是将这样一个复杂的波形拆分成简单的正弦波或余弦波的叠加。（任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成）
就像这样：从b->a->c的巨大演变，只需要一个傅里叶！
②知识储备
1、泰勒级数
这又是一个麻烦的东西，泰勒级数是干什么用的呢？
就是用多项式函数去逼近光滑函数。
（https://www.zhihu.com/question/21149770）
这是我在网上看到的一个解释，我觉得是最贴切的解释了！
还有一幅图可以感受一下，请点击这里。（打不开就用下面的链接）
https://www.matongxue.com/madocs/7.html
接下来看一下它的系统性定义，以及一些常见的泰勒级数，就不多讲了。
泰勒级数：如果函数f(x)在它含点x0的某一区间（a,b）内具有的任何导数都存在，因此对任何正整数n,有下面的n阶泰勒公式成立
2、欧拉公式（真正的宇宙第一公式）
作用：将正弦波统一成了简单的指数形式
它的图像意义：
3、三角级数
在数学中，三角级数是任何具有下述形式的级数：
当
和
具有以下形式时，该级数称为傅立叶级数：
其中
是可积函数。
傅里叶级数是一种三角级数，傅里叶级数也常称为三角级数。但并不是所有三角级数都是傅立叶级数。
4、三角函数系的正交性
组成三角级数的函数系：1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，...，cosnx，sinnx，...
1）其中任意两个不同的函数之积在[-π，π]上的积分等于0
2）两个相同的函数的乘积在[-π，π]上的积分不等于0
将三角函数展开成傅里叶级数
③傅里叶变换对
④傅立叶变换的相关概念
⑤一维傅立叶逆变换
⑥傅立叶谱的平移
⑦傅立叶变换频谱
⑧二维Fourier变换的应用
1、Fourier变换在图像滤波中的应用
首先，我们来看Fourier变换后的图像，中间部分为低频部分，越靠外边频率越高。因此，我们可以在Fourier变换图中，选择所需要的高频或是低频滤波。
2、Fourier变换在图像压缩中的应用
变换系数刚好表现的是各个频率点上的幅值。在小波变换没有提出时，用来进行压缩编码。考虑到高频反映细节、低频反映景物概貌的特性。往往认为可将高频系数置为0，骗过人眼。
3、Fourier变换在卷积中的应用
从前面的图像处理算法中知道，如果抽象来看，其实都可以认为是图像信息经过了滤波器的滤波（如：平滑滤波、锐化滤波等 ）。 如果滤波器的结构比较复杂时，直接进行时域中的卷积运算是不可思议的。
参考文章（感谢大佬！）：
傅里叶分析之掐死教程（完整版）
https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358
欧拉公式——真正的宇宙第一公式
http://k.sina.com.cn/article_6385529085_17c9b70fd001006gjp.html?from=science