数据结构与算法（一）

数据结构与算法中的时间复杂度详解
最近在看数据结构与算法方面的书，因此打算在看书的过程中更新一些学到的知识。尽管我不希望讲解枯燥的理论概念，但是我还是想简单的说一下什么是数据结构什么是算法。
数据结构指的是一组数据的存储结构，算法指的是操作数据的一组方法。数据结构是为算法服务的，算法需要在特定的数据结构上进行操作。下图是数据结构与算法中涉及到的知识点。

今天着重更新的是算法中的时间与空间复杂度，一般地，我们将算法的复杂度指的是时间复杂度，是用于衡量算法效率的一个关键指标。
算法的时间复杂度的定义是：在进行算法分析时，语句总的执行次数T（n）是关于问题规模n的函数，进而分析T（n）随n的变化情况并确定T（n）的数量级，记做：T（n）=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，乘坐算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。
下面通过着重讲解常见的几种时间复杂度。
1、常数阶：一般情况下，只要算法中不存在循环语句、递归语句等，即便有成千上万行代码，其时间复杂度也是O（1）

sum=0;n=100   #执行一次
sum=(1+n)*n/2 #执行一次
print(sum)    #执行一次

2、线性阶

sum=0;n=100              #执行一次
for i in range(1,n+1):   #执行一次
    sum+=i               #执行n次
print(sum)               #执行一次

3、对数阶。log(n)，对数是可以相互转换的

sum=0;n=100              #执行一次
i=1                      #执行一次
while i <=n:             #执行一次
    i=i*2                #执行log2(n)次
print(sum)               #执行一次

下面这个代码也是对数阶，因为log3(n)=log3(2)*log2(n)

 i=1
 while (i <= n)  {
   i = i * 3
 }

4、平方阶

sum=0;n=100;num=0              #执行一次
for i in range(1,n+1):         #执行一次
    for j in range(1,n+1):     #执行一次
        num+=1                 #执行n**2次
        sum++num               #执行n**2次   
print(sum)                     #执行一次

一般地，常见的时间复杂度如下表所示。

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：
0(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < 0(n2) < 0(n3) < 0(2" ) < O(n!) < O(n")
上面讲解了常见的复杂度 分析方法，但是对于一些复杂的例子还是需要进一步分析。下面介绍另外的四个知识点：最好情况时间复杂度、最坏情况时间复杂度、平均情况时间复杂度、均摊时间复杂度。

// n 表示数组 array 的长度
int find(int[] array, int n, int x) {
  int i = 0;
  int pos = -1;
  for (; i < n; ++i) {
    if (array[i] == x) pos = i;
  }
  return pos;
}

下面是用python实现的各个复杂度耗时的图，代码和图如下所示。

from pylab import *
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots()
x=np.linspace(1,3,100)
ax.plot(x, x/x, label="y =1")
ax.plot(x, np.log2(np.abs(x)), label="y = log(x)")
ax.plot(x, x, label="y = x")
ax.plot(x, x*np.log2(np.abs(x)), label="y = xlog(x)")
ax.plot(x, x**2, label="y = x**2")
ax.plot(x, x**3, label="y = x**3")
ax.plot(x, 2**x, label="y = 2**x")
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('算法时间对比')
plt.show()