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题目大意:给定一颗含有$n$个结点的树,每次选择两个结点$x$和$y$,对从$x$到$y$的路径上发放一带$z$类型的物品。问完成所有操作后每个结点发放最多的时哪种物品。
普通的树链剖分貌似也可以做这道题,可以记录一个$c$数组用来记录结点中每种物品的个数,然后暴力乱搞。空间可能会炸。
这时候我们需要一种新算法:树上差分。
关于树上差分,有需要的同学可以去看大佬的博客,我这里说一下思想。
对于序列的差分,我们都知道,假设让序列中$i-j$的数都加上$z$,那么直接让差分数组$b[i]+=z$,$b[j]-=z$即可。放到一颗树中(其实这里变成了子树和),让路径上$s-t$的结点都加上$k$,我们只需在$s,t$加上$k$,在$lca(s,t),fa[lca(s,t)]$减去$k$即可。实际上树上差分的实现形式多种多样,我们可以根据题目需要来作改动。
对于此题,我们不妨用$\log n$的时间把路径$x,y$拆分成$[a_1,b_1],[a_2,b_2],\cdots ,[a_k,b_k]$这样多个区间的形式,每次在$a_i$处加上$z$,在$b_i+1$处减去$z$。写起来是这样的:
inline void chai(int x,int y,int c) { while(top[x]!=top[y]) { if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y); Add(dfn[top[x]],c);Add(dfn[x]+1,-c); x=fa[top[x]]; } if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y); Add(dfn[x],c);Add(dfn[y]+1,-c); }
个数可以用线段树维护。其实正解应该是动态开点+线段树合并之类的高级算法,但是我不会QAQ。所以只写了较为普通的线段树维护。时间复杂度$n\log n$。
代码:
#include#define int long long using namespace std; const int maxn=200005; int n,m; int size[maxn],son[maxn],dep[maxn],fa[maxn]; int dfn[maxn],cnt,w[maxn],top[maxn],ans[maxn];//w[dfn[x]]=x; ans[w[i]]=sum; int head[maxn*2],jishu; int Head[maxn*2],Jishu; struct node { int next,to,val; }edge[maxn*2],Edge[maxn*2];//Edge chai struct tre { int maxx,pos; }tree[maxn*4]; inline int read() { int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();} while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();} return x*f; } inline void add(int from,int to) { edge[++jishu].next=head[from]; edge[jishu].to=to; head[from]=jishu; } inline void Add(int from,int val) { Edge[++Jishu].next=Head[from]; Edge[Jishu].val=val; Head[from]=Jishu; } inline void dfs_son(int now,int f,int deep) { dep[now]=deep; fa[now]=f; size[now]=1; int maxson=-1; for (int i=head[now];i;i=edge[i].next) { int to=edge[i].to; if (to==f) continue; dfs_son(to,now,deep+1); size[now]+=size[to]; if (maxson to; } } inline void dfs(int now,int tp) { dfn[now]=++cnt; top[now]=tp; w[cnt]=now; if (son[now]) dfs(son[now],tp); for (int i=head[now];i;i=edge[i].next) { int to=edge[i].to; if (dfn[to]) continue; dfs(to,to); } } inline void pushup(int index) { if (tree[index*2].maxx>=tree[index*2+1].maxx) tree[index].maxx=tree[index*2].maxx,tree[index].pos=tree[index*2].pos; else tree[index].maxx=tree[index*2+1].maxx,tree[index].pos=tree[index*2+1].pos; } inline void build(int index,int l,int r) { if (l==r){tree[index].maxx=0;tree[index].pos=l;return;} int mid=(l+r)>>1; build(index*2,l,mid); build(index*2+1,mid+1,r); pushup(index); } inline void update(int index,int l,int r,int pos,int k) { if (l==r){tree[index].maxx+=k;return;} int mid=(l+r)>>1; if (pos<=mid) update(index*2,l,mid,pos,k); if (pos>mid) update(index*2+1,mid+1,r,pos,k); pushup(index); } inline void chai(int x,int y,int c) { while(top[x]!=top[y]) { if (dep[top[x]]<dep[top[y]]) swap(x,y); Add(dfn[top[x]],c);Add(dfn[x]+1,-c); x=fa[top[x]]; } if (dep[x]>dep[y]) swap(x,y); Add(dfn[x],c);Add(dfn[y]+1,-c); } signed main() { n=read(),m=read(); for (int i=1;i ) { int x=read(),y=read(); add(x,y);add(y,x); } dfs_son(1,0,1); dfs(1,1); for (int i=1;i<=m;i++) { int x=read(),y=read(),z=read(); chai(x,y,z); } build(1,1,100000); //for (int i=1;i<=n;i++) cout< for (int i=1;i<=n;i++) { for (int j=Head[i];j;j=Edge[j].next) { if (Edge[j].val>0) update(1,1,100000,Edge[j].val,1); else update(1,1,100000,-Edge[j].val,-1); } ans[w[i]]=tree[1].maxx?tree[1].pos:0; } //cout< for (int i=1;i<=n;i++) printf("%lld\n",ans[i]); return 0; }