这里
令有\(n,m\) 中 \(n \le m\)，不失一般性。
令 \(a/b\) 为 \(\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor\)。
\(a \in [l,r]\)，表示 \(l \le a \le r\)。
和式
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\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m gcd(i,j) \]
枚举 \(d\)，表示 \(gcd(i,j)\)，后面再统计 \(gcd(i,j)=d\) 的个数，把个数乘上 \(d\)，即为 \(d\) 对答案的贡献。
因为 \(i \in [1,n],j \in [1,m],n \le m\)，故 \(gcd(i,j) \in [1,n]\)
\[= \sum_{d=1}^{n}d \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} [gcd(i,j)=d] \]
把后面两个和式的 \(n,m\) 除以 \(d\)，相当于把枚举 \(i,j\) 改成枚举 \(di,dj\)，所以
\[= \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(di,dj)=d] \]
有性质 \(gcd(di,dj)=d\) 等价于 \(gcd(i,j)=1\)
\[= \sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1] \]
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\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m lcm(i,j) \]
\[= \sum_{d=1} \]
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\[d(xy) \]
\[=\sum_{i|x}\sum_{j|x} [gcd(i,j)=1] \]
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\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} \left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor \left \lfloor \frac{m}{j} \right \rfloor \]
\[= \sum_{i=1}^{n}\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor \sum_{j=1}^{m}\left \lfloor \frac{m}{j} \right \rfloor \]