期权定价公式的推导（欧式）

1.$C=e^{-rT}{E}^Q[max(S_T-K,0)]$
又可以写为$$C=e^{-rT}{E}^Q[(S_T-K)]I{I}_{S_T>=K}]\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中$Q$表示在风险中性下的利率测度
$I{I}_{S_T>=K}$为示性函数，用来表示$S_T$和$K$之间的关系。

2.现实环境中，股票价格的变动可以用如下公式来描述：
$$d{S}_t=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}d{w}_t\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中$w_t$为布朗运动
现实环境下和风险中性环境下，股票价格的变动布朗运动（随机变化部分）的关系如下$$w_t^p+{\int }_0^t{\theta }_s{d}_t=w_t^Q\text{\hspace{1em}(3)}$$

所以，将（2）式带入（3）式中得到在风险中性测度下股票价格的变化公式(常数项不变，照抄即可)：
$$d{S}_t^Q=\mu S_{t}dt+\sigma S_t(d{W}_t^Q-{\theta }_{s}dt)\text{\hspace{1em}(4)}$$

因为${\theta }_s=\frac{\mu -r}{\sigma }$,所以
$$d{S}_t^Q=r{S}_{t}dt+\sigma S_{t}d{W}_t^Q\text{\hspace{1em}(5)}$$
$\Rightarrow S_t=S_{0}exp((r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)t+\sigma W_t^Q)$

因为$d{w}_t=ϵ\sqrt{T}$,其中$ϵ$服从正态分布，T为时间，所以$$\Rightarrow S_T=S_{0}exp[(r-\frac{1}{2}{\sigma }^2)T+\sigma ϵ\sqrt{T}]\text{\hspace{1em}(6)}$$

lianjie

如果$ϵ$服从$N(0,1)$,则$E[e^{m+\lambda ϵI{I}_{ϵ>a}}]={\int }_a^{\infty }{e}^{m+\lambda ϵ}.\sqrt{2\pi }{e}^{\frac{-{ϵ}^2}{2}}$,其中$m,\lambda ,a$为常数 ，得到：$${\int }_a^{\infty }{e}^{m+\lambda ϵ}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{ϵ}^2}{2}}dϵ$$ 令$ϵ=x$
$$\Rightarrow {\int }_a^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-(x-\lambda {)}^2}{2}}{e}^{\frac{\lambda }{2}+m}$$ 令$y=x-\lambda$ $$\Rightarrow {\int }_{a-\lambda }^{\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{\frac{-y^2}{2}}{e}^{\frac{{\lambda }^2}{2}+m}dy\text{\hspace{1em}(0)}$$
所以，式（0）也是服从标准正态分布$N(0,1)$ 的
所以原式=$$e^{\frac{{\lambda }^2}{2}}[1-N(a-\lambda )]=e^{\frac{{\lambda }^2}{2}+m}N(\lambda -a)$$

4.可以将（1）式写为$$C=e^{-rT}{E}^Q[S_{T}I{I}_{S_T>=K}]-E^Q[K_{I}I{S}_T>=K]\text{\hspace{1em}(7)}$$其中$e^{-rT}{E}^Q[S_{T}I{I}_{S_T>=K}]$等价于