一道经典的黑白帽子问题

题目：黑白帽子问题

一百个犯人纵向站成一排，每人头上带上黑色或白色的帽子，各人不知道自己帽子的颜色，但是能看见自己前面所有人帽子的颜色。然后从最后边一个犯人开始，每人只能大声说一个字：“黑”或“白”，保证其他人都能听到（但声音中不会附加任何其他信息），如果说中了自己帽子的颜色就存活，说错了就拉出去枪决。在执行前，允许所有犯人可以聚在一起商量策略。那么如果犯人都足够聪明不会犯错，那么100个人最大的存活概率是多少？

分析

由于每个人看不到自己帽子的颜色，所以必需有自己后面的人给自己提供有用的信息才可以存活。好在每个人都可以看到自己前面所有人的帽子颜色，因此提供信息不难。但是尴尬的是，如果提供给前面的人信息，那么自己可能就活不了。同时，在报自己颜色的时候，又很难给别人提供信息。因此，问题的关键是如何在报自己帽子颜色的时候，又可以提供给前面的人以有用的信息，这样才可以保证尽可能多的人活下来。
注：为了讨论方便，所有的顺序都是从后向前，如“第1人”指的是整个一纵排的最后一人，他可以看到前面所有人的帽子颜色。

解法1：存活率 75%

最简单的办法，就是每奇数位人报前一人帽子的颜色，然后前一人再报自己的颜色，以此类推，直到排首。如，第1人能看到第2人的颜色，直接报出来告诉第2人，这样第2人在报的时候直接报出来就可以存活，但是第1个人因为报的是第2个人的帽子颜色，所以只有50%的几率正好与自己的颜色一样。在这种情况下，如果每对的颜色都是一样的，那么100人全部存活；反之，如果每对颜色都不一样，只有50人存活。
存活概率：50人肯定存活，另50人有一半的几率存活，所以存活率为 (100% $\times$ 50 + 50% * 50 )/100 = 75%。

解法2：存活率 96.5%

由于后面的人能够看到所有人的帽子的颜色，所以我们可以利用这一点进行编码。我们很容易求出，100 的二进制码为 ‭1100100 需要7位即可‬，所以我们可以用最后面7个人进行编码对剩下93人的白帽子的数据进行表示。举例来说，比如在前93人中有52顶白帽子，其二进制编码为‭0110100，那么最后7个人可以用黑表示1，白表示0进行报颜色，即 [白，黑，黑，白，黑，白，白]。当前面所有93人听到这个组合时，根据之前商讨的约定，就会明白有52顶白帽子。这是倒数第8人开始报颜色了，虽然他看不见自己的颜色，但是可以看到前面92人的帽子颜色，由于已经知道了白色帽子的数量，所以只要统计一下前面92人帽子的颜色即可推算出自己帽子的颜色，比如数完白色帽子总数仍然是52，自己肯定是黑色的；反之如果白帽子变成51了，自己则也是白帽子。以此类推，直到最后一个人。（注：题目设定所有犯人“足够聪明不会犯错”这点非常关键）。
存活概率：此时93人肯定存活，7人50%概率，所以存活率为 (100% $\times$ 93 + 50% * 7 )/100 = 96.5%。

解法3：存活率 99.5%

本解法利用奇偶性来解决，可以将白帽子的奇偶性作为关键点来考虑。具体算法如下：

1. 让第1人先统计前99人的白帽子的个数，然后用黑表示奇数，白表示偶数告知前面所有99人。
2. 下一人根据已经白帽子的奇偶性推算自己帽子的颜色，如果奇偶性改变了，则自己是白色，否则是黑色。
3. 后面的人根据前人的颜色推断当前白帽子总数的奇偶性，回到2，直到所有人报完。

举例来说，假设总共有52帽白帽子，那么第1人会报白表示偶数。这样所有人都知道了有偶数顶的白帽子。第2人同样会统计前面98人的帽子，如果总数是奇数，白帽子总数的奇偶性由偶变奇了，所以自己也是白色，他报白即可。第3人听到第2人报白，会将当前白帽子总数的奇偶性变成奇数，然后继续进行报。
存活概率：此时99人肯定存活，1人50%概率，所以存活率为 (100% $\times$ 99 + 50% * 1 )/100 = 99.5%。

总结

以上三种算法的结果差异很明显，尤其是最后一种，几乎保证了所有人都可以存活。差异产生的根据原因在于报颜色的时候，是否能够向前面的人提供有用的信息。第一种是每对间的信息完全是独立的，除了前一人的黑白信息对后一人有用外，对其他人完全无用，所以存活率最低。第二种，报颜色的同时还能够向后面所有人提供有用信息，所以保证了93人的存活，但是由于采用二进制的编码的方式，多占用了7人进行编码。第三种方案利用奇偶性只用了1个人就可以向所有人提供了所必需的信息，同时每个人在报的时候也向后面的人提供了有用信息，信息的利用率最高，所以让最多的人活了下来。第三种方案已经是最优解，无法再优化了，因为第1人是无论如何也不知道自己帽子颜色的，只有50%的概率存活，所以99.5%就是这个问题解的极限。