动态规划解决最长公共子序列(Java实现)
https://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630
问题的引入和分析引自原博主，原文链接在上面
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解：
引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成：
回溯输出最长公共子序列过程：
算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
伪代码表示：
for x = 0 to n do
for y = 0 to m do
if (x == 0 || y == 0) then
LCS(x, y) = 0
else if (Ax == By) then
LCS(x, y) = LCS(x - 1,y - 1) + 1
else
LCS(x, y) = ) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))
endif
endfor
endfor
全部代码(粘过去就能跑的那种)：
package dp;
import java.util.Random;
//使用动态规划找出最长公共子序列
public class LCS {
public static void main(String[] args) {
//随机生成指定长度的字符串
int size = 20;
String x = generateRandomStr(size);
String y = generateRandomStr(size);
int m = x.length();
int n = y.length();
//创建二维数组，也就是填表的过程
int[][] c = new int[m+1][n+1];
//初始化二维数组
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
c[i][0] = 0;
}
for (int i = 0; i < n+1; i++) {
c[0][i] = 0;
}
//实现公式逻辑
int[][] path = new int[m+1][n+1];//记录通过哪个子问题解决的，也就是递推的路径
for (int i = 1; i < m+1; i++) {
for (int j = 1; j < n+1; j++) {
if(x.charAt(i-1) == y.charAt(j-1)){
c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
}else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
c[i][j] = c[i-1][j];
path[i][j] = 1;
}else{
c[i][j] = c[i][j-1];
path[i][j] = -1;
}
}
}
//输出查看c
System.out.println("c:");
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
for (int j = 0; j < n+1; j++) {
System.out.print(c[i][j]+"\t");
}
System.out.println();
}
//输出查看path
System.out.println("path:");
for (int i = 0; i < m+1; i++) {
for (int j = 0; j < n+1; j++) {
System.out.print(path[i][j]+"\t");
}
System.out.println();
}
System.out.printf("%s与%s的最长公共子序列为：\n",x,y);
PrintLCS(path,x,m,n);
}
public static String generateRandomStr(int length) {
String base = "ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ";
Random random = new Random();
StringBuilder sb = new StringBuilder();
for (int i = 0; i < length; i++) {
int number = random.nextInt(base.length());
sb.append(base.charAt(number));
}
return sb.toString();
}
public static void PrintLCS(int[][]b,String x,int i,int j){
if(i == 0 || j == 0){
return;
}
if(b[i][j] == 0){
PrintLCS(b,x,i-1,j-1);
System.out.printf("%c",x.charAt(i-1));
}else if(b[i][j] == 1){
PrintLCS(b,x,i-1,j);
}else{
PrintLCS(b,x,i,j-1);
}
}
}
程序运行截图：
总结
程序总体上分为两个部分，第一就是二维数组c的构建，实质也就是问题划分的过程，由此可以看出动态规划的方法就是将所有可能的子问题都一一罗列出来，选择有用的进行最后最优解的计算，以此避免重复计算。最优解最终就出现在数组的最后
第二部分就是输出最优解是怎么来的，这是需要创建一个新的path[][] 数组，记录到底使用了哪个子问题，遍历过程中进行输出。背包问题和最长公共子序列问题有非常多的相似之处，这是需要总结反思的。