背包九讲----整理+例题

背包九讲类型汇总：

1.01背包问题

2.完全背包问题

3.多重背包问题

4.混合背包问题

5.二维费用的背包问题

6.分组背包问题

7.有依赖的背包问题

8.背包问题求方案数

9.求背包问题的具体方案

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注：以下所有题目来源于ACwing题库 Acwing 题库

这里每个类型基本都是具体题目+自己的一些体会+代码，背包九讲的理论以及解析证明之类的可以参见这位大佬的博客，很详细 here

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1. 01背包问题 Acwing 02

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
8

朴素版解法：二维空间解法
每件物品只能选一次，对于每种物品，我们有两种选择

1.不选 -> dp[i][j]=dp[i-1][j]
等于选前i-1个物品，空间为j情况下的最优解
2.选 -> dp[i][j]=dp[i-1][j-v[i]]+w[i]
如果选的话，前i-1个物品的体积最多为j-v[i]

在这两种情况中取较大值即可，即为当前情况的最优解，我们的每一步都是从上一步的最优解转移过来，所以可以保证最后的结果一定是最优解

#include
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N][N];  //dp[i][j]表示前i个物品，背包容量是j的情况下的最大价值。 
int w[N];
int v[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			dp[i][j]=dp[i-1][j];
			if(j>=v[i])  
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
		} 
	}
	cout<<dp[n][m]<<endl;
	return 0;
}

解法二：滚动数组优化：（实际上只需要一个数组）

状态转移每次只与上一层有关，所以用一个一维数组就可以
转移方程：dp[i]=max(dp[i],dp[i-v[i]]+w[i])

其实就相当于二维中的 dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])

所以第二层循环需要从大到小循环，因为若是继续从小到大循环，后面算的时候，用的是这一层已经算过的数据，就变成dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]) ，（这正好是完全背包一维的解法，每个物品可以选无限次）而从大到小算的话一定用的是上一层的状态

#include
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N]; 
int main()
{
	int n,m,v,w;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
	    cin>>v>>w;
		for(int j=m;j>=v;j--)
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w);
		} 
	}
	cout<<dp[m]<<endl;
	return 0;
}

注：这时的dp[i]表示空间<=i的最大价值，所以最后直接输出dp[m]即可，这与初始化有关，因为dp数组在主函数外定义，初始值均为0，所以如果存在一个k 若题目要求装满背包，即将物品恰装入一个容量为m的背包中，只需要将初始化条件改一改即可，----将dp数组初始化为负无穷，dp[0]=0，即可确保状态一定是从0转移过来的。

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2.完全背包问题 Acwing 03

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。

第 i 种物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 5
输出样例：
10

朴素版解法：二维空间解法
也是两种选择，选或不选，只不过每个物品可以选无限次，在01的基础上把
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i])
改为
dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i])即可

#include
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N][N]; 
int w[N];
int v[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			dp[i][j]=dp[i-1][j];
			if(j>=v[i])
				dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-v[i]]+w[i]);
		} 
	}
	cout<<dp[n][m]<<endl;
	return 0;
}

优化空间版解法：
转移方程为dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])
第二层从小到大循环，原因参见01的一维

#include
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N]; 
int main()
{
	int n,m,w,v;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>v>>w;
		for(int j=v;j<=m;j++)
		{
			dp[j]=max(dp[j],dp[j-v]+w);
		} 
	}
	cout<<dp[m]<<endl;
	return 0;
}

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3.多重背包问题

题目1：o(n^3)做法 Acwing 04

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

思路：是01背包的延伸，就不说二维做法了，跟上面差不多。直接贴一维做法。
01背包是选或不选 ：
dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i])
多重背包是选0个，1个，2个…s[i]个
即dp[j]=max(dp[j],dp[j - v[i] * k]+w[i] * k)
k=1,2,3,…s[i]
那么再加一层循环表示选多少个就可以了
因为是01背包的扩展，所以第二层循环应从大到小循环

#include
using namespace std;
#define N 105
int w[N];
int v[N];
int s[N];
int dp[N];
int main()
{
	 
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=m;j>=v[i];j--)
		{
			for(int k=1;k<=s[i] && j>=k*v[i];k++)
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*v[i]]+w[i]*k);
		} 
	}
	cout<<dp[m]<<endl;
	return 0;
}

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方法2：二进制优化做法 Acwing 05

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

第 i 种物品最多有 si 件，每件体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 ii 种物品的体积、价值和数量。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 0 提示：
本题考查多重背包的二进制优化方法。

输入样例
4 5
1 2 3
2 4 1
3 4 3
4 5 2
输出样例：
10

思路：这道题的数据范围如果用三层循环的话是达到了1e9，所以必须优化它。其实可以把它转化为一个01背包的问题。每个物品有s件，我们可以把它差分成s份，每份物品当做不同的个体，即只能选一次，这就转化为了01背包物品，但是这样的话，物品个数变成了1000*2000=2e6，再循环一层空间的话，还是1e9的复杂度。

那么继续优化，一个物品的数量是s的话，只要把s拆分成一些数字，使它们能够表示出1-s中任意一个数字，就可以，没必要把它拆成s个1。
那么这样的数字最少需要多少个呢？最少需要log(s)个，向上取整。
比如7，它最少需要3个数字来表示：
即 1（2^0=1 ）， 2（2^1=2）， 4（2^2=4）。
原因：每个数字有2种可能选或不选，那么可以表示的不同数字个数就是 2 * 2 * 2 = 8。但是还需要注意一个问题，就是有些数字可能能够表示出来一些大于s的数字，但是这件物品最多只有s件，那么就需要特殊处理一下最后一个数。
比如10，若用1，2， 4， 8表示，可能会表示出来大于10的数字，例如：4+8=12。那么如果最后一个数字加上前面数的总和会大于s，就将它替换为剩下的物品个数，即将8替换为3，这时正好能表示出1-s所有的数，-> 1, 2，4可以表示7以内的所有数，这些数加上3就可以表示10以内的所有数啦。
注：如果拆分成log(s)个的话，时间复杂度就变为1000 * log(2000) * 2000 = 2e7，是可以通过的~

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1005 , M=2005;
int dp[M],v[N*M],w[N*M];
int main()
{
    int n,m,k=0;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int vv,ww,s;
        cin>>vv>>ww>>s;
        for(int i=1;i<=s;i*=2)   //二进制优化
            v[k]=vv*i,w[k++]=ww*i,s-=i;
        if(s>0)
            v[k]=vv*s,w[k++]=ww*s;
    }
    for(int i=0;i<k;i++)        //01背包
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

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题目3：多重背包终极版… Acwing 06

题目跟上面一样，但是数据范围如下

用的是单调队列优化，效果是把那层log(s)去掉，变成n*v的复杂度。这个写法我也只是能看懂而已qaq，铺开证明还真有点困难，，网上看到这篇写的挺好，很详细，感兴趣戳 here

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4.混合背包问题 Acwing 07

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,wi,si，用空格隔开，分别表示第 i 种物品的体积、价值和数量。

si=−1 表示第 i 种物品只能用1次；
si=0 表示第 i 种物品可以用无限次；
si>0 表示第 i 种物品可以使用 si 次；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 −1≤si≤1000−1
输入样例
4 5
1 2 -1
2 4 1
3 4 0
4 5 2
输出样例：
8

思路：是一个前三种背包问题的综合，如果明白了前面的，就很简单了，只需要判断一下类型，如果是多重背包，将它转换为01背包插入数组当中，然后按着不同类型的处理方式去遍历空间大小即可。

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1005;
int s[N],v[N],w[N],dp[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>v[i]>>w[i]>>s[i];
        if(s[i]==-1) s[i]=1;  //01背包相当于物品件数为1的多重背包
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(s[i]==0)          //完全背包，按照完全背包的方式，从小到大枚举体积
        {
            for(int j=v[i];j<=m;j++)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
        }
        for(int k=1;k<=s[i];s[i]-=k,k*=2)  //多重背包进行二进制优化
        {
            for(int j=m;j>=0;j--)
                if(j>=k*v[i])
                    dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]*k]+k*w[i]);
        }
        for(int j=m;j>=0;j--)
            if(j>=s[i]*v[i])
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-s[i]*v[i]]+w[i]*s[i]);
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

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5.二维费用的背包问题 Acwing 08

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M。

每件物品只能用一次。体积是 vi，重量是 mi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式
第一行两个整数，N，V, M，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 N 行，每行三个整数 vi,mi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积、重量和价值。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 0 0 输入样例
4 5 6
1 2 3
2 4 4
3 4 5
4 5 6
输出样例：
8

思路：这个题也很简单，就是在01背包的基础上加了一维重量，枚举的时候多一层循环就行了。因为是01背包的变形，所以重量和体积枚举的时候都从大到小枚举。

#include
using namespace std;
#define N 1005
int dp[N][N];
int main()
{
	int n,V,M,v,w,m;
	cin>>n>>V>>M;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>v>>m>>w;
		for(int j=V;j>=v;j--)
		{
			for(int k=M;k>=m;k--)
				dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-v][k-m]+w);
		}
	}
	cout<<dp[V][M]<<endl;
	return 0;
 } 

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6.分组背包问题 Acwing 09

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N，V，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 N 组数据：

每组数据第一行有一个整数 Si，表示第 i 个物品组的物品数量；
每组数据接下来有 Si行，每行有两个整数 vij,wij，用空格隔开，分别表示第 i 个物品组的第 j 个物品的体积和价值；
输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
0 0 0 输入样例
3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5
输出样例：
8

思路：和多重背包有一些类似，多重背包是每个物品有si件，可以选0,1，2…si件。而分组背包是不选，选第1个，或第2个或第3个…或第si个，都有si+1种决策方式，即使用三层循环即可解决。没有优化方式。

#include
#include
using namespace std;
#define N 105
int dp[N];
int v[N];
int w[N];
int main()
{
	int n,m,s;
	cin>>n>>m;
	for(int i=0;i<n;i++)
	{
		cin>>s;
		for(int k=0;k<s;k++)
			cin>>v[k]>>w[k];
		for(int j=m;j>=0;j--)
			for(int k=0;k<s;k++)
				if(j>=v[k])
					dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[k]]+w[k]);
	}

	cout<<dp[m]<<endl;
	return 0;
}

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7.有依赖的背包问题 Acwing 10

有 NN 个物品和一个容量是 VV 的背包。

物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。

如下图所示：

如果选择物品5，则必须选择物品1和2。这是因为2是5的父节点，1是2的父节点。

每件物品的编号是 ii，体积是 vivi，价值是 wiwi，依赖的父节点编号是 pipi。物品的下标范围是 1…N1…N。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式
第一行有两个整数 N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品个数和背包容量。

接下来有 NN 行数据，每行数据表示一个物品。
第 ii 行有三个整数 vi,wi,pivi,wi,pi，用空格隔开，分别表示物品的体积、价值和依赖的物品编号。
如果 pi=−1pi=−1，表示根节点。 数据保证所有物品构成一棵树。

输出格式
输出一个整数，表示最大价值。

数据范围
1≤N,V≤1001≤N,V≤100
1≤vi,wi≤1001≤vi,wi≤100
父节点编号范围：

内部结点：1≤pi≤N1≤pi≤N;
根节点 pi=−1pi=−1;
输入样例
5 7
2 3 -1
2 2 1
3 5 1
4 7 2
3 6 2
输出样例：
11

思路：其实有依赖的背包问题和树形dp很类似，它把树形dp和分组背包结合到了一起。
选一个物品必须要选择它的父节点，那么反过来，父节点选择子节点，一定会选择价值最大的那一分支。那么就可以先递归算出子树的每一个体积对应的最大价值，然后进行分组背包，求出最大值即可。

需要注意的是，我们选择了子节点，就必须选择当前节点，那么最后需要把父节点的位置空出来。（把所有已算完的体积更新一下，在里面加上父节点这一物品）

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N =1005;
int e[N],w[N],v[N],ne[N],h[N],idx;
int dp[105][105];
int n,m;
void init()
{
    memset(h,-1,sizeof h);
    idx=0;
}
void add(int a,int b)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int x)
{
    for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i])
    {
        int son=e[i];
        dfs(son);
        for(int j=m;j>=0;j--)
        {
            for(int k=0;k<=j;k++)
                dp[x][j]=max(dp[x][j],dp[x][j-k]+dp[son][k]);
        }
    }
    for(int i=m;i>=0;i--)
        if(i>=v[x])
            dp[x][i]=dp[x][i-v[x]]+w[x];
        else          //注意，父节点不选的话，子节点一个都不能选
            dp[x][i]=0;
    
}
int main()
{
    init();
    int root;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int fa;
        scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&fa);
        if(fa==-1)
            root=i;
        else
            add(fa,i);
    }
    dfs(root);
    cout<<dp[root][m]<<endl;
    return 0;
}

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8.背包问题求方案数 Acwing 11

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 10^9+7 的结果。

输入格式
第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一个整数，表示 方案数 模 10^9+7的结果。

数据范围
0 0 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
2

思路：在原来01背包的基础上加一个表示方案数的数组即可。注意初始化，如果只把num[0]赋值成1，那么需要把对应的01背包转化为体积恰好是j的情况下的最大价值。最后找出最大价值，将此价值对应的所有体积的方案数加上即可。

#include
#include
#include
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
const int mod=1e9+7;
const int N =1005;
int dp[N],num[N],v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    memset(dp,-inf,sizeof dp);
    dp[0]=0;num[0]=1;
    int maxw=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            if(dp[j-v[i]]+w[i]>dp[j])
            {
                dp[j]=dp[j-v[i]]+w[i];
                num[j]=num[j-v[i]];
            }
            else if(dp[j-v[i]]+w[i]==dp[j])
                num[j]=(num[j]+num[j-v[i]])%mod;
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        maxw=max(maxw,dp[i]);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=m;i++)
        if(dp[i]==maxw)
            ans=(ans+num[i])%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

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9.背包问题求具体方案 Acwing 12

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 字典序最小的方案。这里的字典序是指：所选物品的编号所构成的序列。物品的编号范围是 1…N。

输入格式
第一行两个整数，N，V 用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式
输出一行，包含若干个用空格隔开的整数，表示最优解中所选物品的编号序列，且该编号序列的字典序最小。

物品编号范围是 1…N。

数据范围
0 0 输入样例
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6
输出样例：
1 4

思路：因为方案可能有很多种，题目要求输出字典序最小的，那么就倒着枚举物品种类，贪心思想，确保序号小的能优先选择。最后输出一下可行的转移路径就行了。

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N =1005;
int dp[N][N],v[N],w[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d%d",&v[i],&w[i]);
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        for(int j=m;j>=0;j--)
        {
            dp[i][j]=dp[i+1][j];
            if(j>=v[i])
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i+1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    int val=m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(val-v[i]>=0&&dp[i][val]==dp[i+1][val-v[i]]+w[i])
        {
            cout<<i<<" ";
            val-=v[i];
        }
    }
    return 0;
}

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~~~我跟着yxc大佬的视频看的，讲的超级棒。
大佬视频