C#数据结构与算法系列（十四）：递归——八皇后问题（回溯算法）

1.介绍

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的经典案例，该问题是国际西洋棋棋手马克斯.贝瑟尔于1848年提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即

任意两个皇后都不能处于同一行、同一列、同一斜线。问有多少种摆法（92）。

2.思路分析

第一个皇后先放第一行第一列

第二个皇后放在第二行第一列，然后判断是否OK，如果不OK，继续放在第二列，第三列，依次把所有列都放完，找到一个合适

继续放第三个皇后，还是第一列，第二列。。。知道第8个皇后也能放在一个不冲突的位置，算是找到一个正确解

当得到一个正确解时，在栈中退到上一个栈时，就会开始回溯，即：将第一个皇后，放到第一列的所有正确解，全部得到

然后回头继续放第一个皇后放第二列，后面继续循环执行执行1,2,4步骤

说明：理论上应该创建一个二维数组来表示棋盘，但是实际上可以通过算法，用一个一维数组即可解决问题. arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //对应arr 下标 表示第几行，即第几个皇后，arr[i] = val , val 表示第i+1个皇后，放在第i+1行的第val+1列

3.图解

 

 

 4.代码实现

    public class EightQueens
    {
        //定义一个max表示共有多少个皇后
        static int _max = 8;

        //定义数组arr,保存皇后放置位置的结果，比如 arr={0,4,7,5,2,6,1,3}
        static int[] _arr = new int[_max];

        //初始化解法次数
        static int _count = 0;

        //初始化冲突次数
        static int _judgeCount = 0;
        public static void Test()
        {
            EightQueens.Check(0);

            Console.WriteLine($"一共有{_count}种解法");

            Console.WriteLine($"一共判断冲突的次数{_judgeCount}次");
        }

        /// 

        ///编写一个方法，放置第n个皇后
        ///Check是每一次递归时，进入到Check中都有for(int i=0;i<_max;i++)，因此会有回溯
        /// 
        /// 
        private static void Check(int n)
        {
            if (n == _max) //当n=8,说明8个皇后已经方法，因为初始值从0开始
            {
                Print();

                return;
            }

            //依次放入皇后，并判断是否有冲突
            for (int i = 0; i < _max; i++)
            {
                //先把当前这个皇后n,放到该行的第1列
                _arr[n] = i;

                //判断当放置第n个皇后到i列时，是否冲突
                if (Judge(n))
                {
                    //如果不冲突，接着放n+1个皇后，即开始递归
                    Check(n + 1);
                }

                //如果冲突，就继续执行arr[n]=i,即将第n个皇后，放置在本行的后移的一个位置
            }
        }

        /// 

        /// 查看当我们放置第n个皇后，就去检查该皇后是否和前面已经判断的皇后冲突
        /// 
        /// 表示第n个皇后
        /// 
        private static bool Judge(int n)
        {
            _judgeCount++;

            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                //1._arr[i] == _arr[n] 表示判断第n个皇后，是否和前面的n-1个皇后在同一列
                //2.Math.Abs(n - i) == Math.Abs(_arr[n] - _arr[i])表示判断第n个皇后是否和第i个皇后在同一个斜线
                //取个例子：当 n=1的时候 也就是放置第2列 Math.Abs(1-0)==Math.Abs(1-0)=1
                //3.判断是否在同一行，没有必要，n每次都在递增
                if (_arr[i] == _arr[n] || Math.Abs(n - i) == Math.Abs(_arr[n] - _arr[i]))
                {
                    return false;
                }
            }

            return true;
        }

        /// 

        /// 皇后的摆放位置输出
        /// 
        private static void Print()
        {
            _count++;

            for (int i = 0; i < _arr.Length; i++)
            {
                System.Console.Write(_arr[i] + " ");
            }

            System.Console.WriteLine();
        }
    }

5.结果图

 

 

 

0 4 7 5 2 6 1 3
0 5 7 2 6 3 1 4
0 6 3 5 7 1 4 2
0 6 4 7 1 3 5 2
1 3 5 7 2 0 6 4
1 4 6 0 2 7 5 3
1 4 6 3 0 7 5 2
1 5 0 6 3 7 2 4
1 5 7 2 0 3 6 4
1 6 2 5 7 4 0 3
1 6 4 7 0 3 5 2
1 7 5 0 2 4 6 3
2 0 6 4 7 1 3 5
2 4 1 7 0 6 3 5
2 4 1 7 5 3 6 0
2 4 6 0 3 1 7 5
2 4 7 3 0 6 1 5
2 5 1 4 7 0 6 3
2 5 1 6 0 3 7 4
2 5 1 6 4 0 7 3
2 5 3 0 7 4 6 1
2 5 3 1 7 4 6 0
2 5 7 0 3 6 4 1
2 5 7 0 4 6 1 3
2 5 7 1 3 0 6 4
2 6 1 7 4 0 3 5
2 6 1 7 5 3 0 4
2 7 3 6 0 5 1 4
3 0 4 7 1 6 2 5
3 0 4 7 5 2 6 1
3 1 4 7 5 0 2 6
3 1 6 2 5 7 0 4
3 1 6 2 5 7 4 0
3 1 6 4 0 7 5 2
3 1 7 4 6 0 2 5
3 1 7 5 0 2 4 6
3 5 0 4 1 7 2 6
3 5 7 1 6 0 2 4
3 5 7 2 0 6 4 1
3 6 0 7 4 1 5 2
3 6 2 7 1 4 0 5
3 6 4 1 5 0 2 7
3 6 4 2 0 5 7 1
3 7 0 2 5 1 6 4
3 7 0 4 6 1 5 2
3 7 4 2 0 6 1 5
4 0 3 5 7 1 6 2
4 0 7 3 1 6 2 5
4 0 7 5 2 6 1 3
4 1 3 5 7 2 0 6
4 1 3 6 2 7 5 0
4 1 5 0 6 3 7 2
4 1 7 0 3 6 2 5
4 2 0 5 7 1 3 6
4 2 0 6 1 7 5 3
4 2 7 3 6 0 5 1
4 6 0 2 7 5 3 1
4 6 0 3 1 7 5 2
4 6 1 3 7 0 2 5
4 6 1 5 2 0 3 7
4 6 1 5 2 0 7 3
4 6 3 0 2 7 5 1
4 7 3 0 2 5 1 6
4 7 3 0 6 1 5 2
5 0 4 1 7 2 6 3
5 1 6 0 2 4 7 3
5 1 6 0 3 7 4 2
5 2 0 6 4 7 1 3
5 2 0 7 3 1 6 4
5 2 0 7 4 1 3 6
5 2 4 6 0 3 1 7
5 2 4 7 0 3 1 6
5 2 6 1 3 7 0 4
5 2 6 1 7 4 0 3
5 2 6 3 0 7 1 4
5 3 0 4 7 1 6 2
5 3 1 7 4 6 0 2
5 3 6 0 2 4 1 7
5 3 6 0 7 1 4 2
5 7 1 3 0 6 4 2
6 0 2 7 5 3 1 4
6 1 3 0 7 4 2 5
6 1 5 2 0 3 7 4
6 2 0 5 7 4 1 3
6 2 7 1 4 0 5 3
6 3 1 4 7 0 2 5
6 3 1 7 5 0 2 4
6 4 2 0 5 7 1 3
7 1 3 0 6 4 2 5
7 1 4 2 0 6 3 5
7 2 0 5 1 4 6 3
7 3 0 2 5 1 6 4
一共有92种解法
一共判断冲突的次数15720次