相机内参的物理意义

相机内参的物理意义

把相机坐标系下3D空间点投影到像素坐标系中，相机内参$K$:
$$\left(\begin{array}{ccc}\alpha f& 0& c_x\\ 0& \beta f& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$f$的单位为米，$\alpha ,\beta$的单位为像素/米，所以$f_x,f_y$的单位为像素。

相机内参的变化

1. 问题描述：如果一部相机的分辨率变为原来的$n$倍而其他地方不变，那么它的内参将如何变化？
   结论：$$f_x^{\prime }=n{f}_x,f_y^{\prime }=n{f}_y,c_x^{\prime }=n{c}_x,c_y^{\prime }=n{c}_y$$
2. 数学推导
   以下函数把相机坐标系下3D空间点$P(X,Y,Z)$投影到像素坐标系中：
   $$(X,Y,Z)\to (u,v,1)$$
   $$Z\left(\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}{f}_x& 0& c_x\\ 0& f_y& c_y\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}X\\ Y\\ Z\end{array}\right)=KP.$$

• 相机坐标系到成像平面的变换
  由相机坐标系到像素坐标系的变换，先要经过相机坐标系到成像平面的变换，空间点$P$在成像平面的投影点的坐标为$P^{\prime }(X^{\prime },Y^{\prime })$:
  $$(X,Y,Z)\to (X^{\prime },Y^{\prime })$$
  $$\frac{Z}{f}=\frac{X}{X^{\prime }}=\frac{Y}{Y^{\prime }}$$
  把$X^{\prime },Y^{\prime }$放到等式左侧，整理得
  $$X^{\prime }=f\frac{X}{Z},Y^{\prime }=f\frac{Y}{Z}$$

Note：X’, Y’是经过等价变换后的坐标，即将相机成像平面上点的坐标对称地放到相机前方。

• 成像平面到像素坐标系的变换
  像素坐标系通常的定义方式是：原点$o$位于图像的左上角，$u$轴向右与$x$轴平行，$v$轴向下与$y$轴平行。
  像素坐标系与成像平面之间，相差了一个缩放和一个原点的平移。设像素坐标在$u$轴上缩放了$\alpha$倍，在$v$轴上缩放了$\beta$倍。同时，原点平移了$[c_x,c_y{]}^T$。那么
  $$\{\begin{array}{l}u=\alpha X^{\prime }+c_x\\ v=\beta Y^{\prime }+c_y\end{array}$$
  令$f_x=\alpha f,f_y=\beta f$可得
  $$\{\begin{array}{l}u=f_x\frac{X}{Z}+c_x\\ v=f_y\frac{Y}{Z}+c_y\end{array}$$
• 分辨率改变
  当分辨率变为原来的n倍时，像素坐标变化为
  $$(u,v)\to (u^{\prime },v^{\prime })$$
  $$\{\begin{array}{l}{u}^{\prime }=nu=n{f}_x\frac{X}{Z}+n{c}_x=n\alpha f\frac{X}{Z}+n{c}_x\\ v^{\prime }=nv=n{f}_y\frac{Y}{Z}+n{c}_y=n\alpha f\frac{Y}{Z}+n{c}_y\end{array}$$
  由上式可得结论：相机分辨率变为原来的n倍时，相机内参变为原来的n倍，即：
  $$f_x^{\prime }=n{f}_x,f_y^{\prime }=n{f}_y,c_x^{\prime }=n{c}_x,c_y^{\prime }=n{c}_y$$
  因为相机焦距$f$固定不变，因此可得：
  $${\alpha }^{\prime }=n\alpha ,{\beta }^{\prime }=n\beta ,c_x^{\prime }=n{c}_x,c_y^{\prime }=n{c}_y$$