旋转矩阵推导

一、前言：
周而复始的搜索、循环往复的记忆，但终究还是不深刻，不能像老师一样交给一个新人，所谓提纲挈领，名师指导还是相当有必要的，因为所有的坎，名师都遇到过，而且总结了自己的一套方法论。这样才能够言简意赅，才能够让一个什么都不懂（有点夸张），略等一些技术背景的人，很容易的就能够理解并且掌握。闲言少叙，下面来看下矩阵变换中的旋转矩阵的推导是怎么推导出来的。本文并不涉及为什么使用四维矩阵表示三维向量的旋转，这些知识将在后面的文章中一一涉及，有兴趣的或者锱铢必较（这里作褒义会意）的读者请关注博主接下来的学习历程。
二、推导过程
2.1二维向量的旋转

2.2三维向量的旋转
二维扩展到三维，其实还是蛮简单的，我们不妨将上面的图，再修改下，就可以得到如下图：

正如你看到的，添加了一个+z，就变成了三维空间了。上面将OP顺时针绕着z轴旋转了θ角度。这里我们要注意两点：
（1）我们站在xy平面，朝着z轴的正方向看，我们挥舞着手臂，从OP转动θ角度到达了OP’，这里是顺时针沿着z轴旋转了θ角度。
（2）搞清楚坐标系是左手坐标系还是右手坐标系，为什么要搞清楚这个呢？因为为了接下来的同理推导，哈哈为了省事。

2.3如何确定是左手坐标系，还是右手坐标系。
这个问题，我的习惯是用手指模拟。伸出一只手，大拇指是x轴正方向、食指是y轴正方向、中指是z轴正方向。哪只手这样做之后能和坐标轴重合，那只手就是左/右坐标系。如下图所示，可以确定此坐标系为左手坐标系：

2.4绕z轴旋转θ角度的矩阵表示

好事之徒，这里就会问，哎？这里z’经过矩阵变换之后，z轴结果没有变化，对呀为啥没有变化呢？你觉得会有变化吗？可以这么理解。

我们绕着z轴旋转，其实即使向量的在圆锥体上的移动，但是投射到z上的坐标是固定长度的，也可看出，绕某个轴旋转，其实这个点或者是向量的某轴坐标不变。例如，绕x轴旋转，则x轴的坐标不变；绕y轴旋转，y轴坐标不变；绕z轴旋转则z轴不变。

2.5绕x轴、y轴旋转θ角度的矩阵表示
我们此时要做的就是转换坐标轴的位置，使其和我们上面的绕z轴推导进行硬套公式即可。如下所示，我们首先，记住首先，就是讲x轴方针原来z轴的位置。

此时到底是（一）还是（二）呢？回顾我们之前写的一句话，就是该坐标系是左手坐标系还是右手坐标系。经过验证（一）是左手坐标系；（二）是右手坐标系。又因为我们之前的坐标系是左手坐标系，所以这里选择（一）。
ok此时，我们有了坐标系，我们只要把对应的变量替换上去即可。如下图所示：

推导如下：

至此，我们完成了绕x、y、z三个轴旋转的矩阵推导过程。