金融安全算法介绍系列6——RSA

前言：

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前期调试 RSA 算法相关的操作，一直想写个扫盲文章，记录一下相关的概念和操作流程。本文大多参考网上的内容，仅以了解的思路整理成文，对 RSA 算法有一个初步的认识。

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1. 概述

RSA 加密算法是一种非对称加密算法，RSA 非对称加密存在大量的取模运算，加密速度慢，在实际应用中结合对称加密算法一起使用，RSA 对对称加密的私钥进行加密。RSA 算法的可靠性由对极大整数做因数分解的难度决定。

2. 算法参数

参数	解释	备注
M	明文
C	密文
N	模数，两个很大的质数的乘积
E	公钥指数
D	私钥指数	D 是 E 对于 φ(n) 的模反元素
p，q	两个比较大的质数
(E，N)	公钥
(D，N)	私钥
（E，D，N）	密钥对
p q dp dq qinv	CRT模式的私钥	p、q 为两个大素数。RSA1024 算法，二者长度均为 1024/2 = 512bit = 64byte，dp、dq 两个参数长度也和P、Q长度相等。n =p * q长度为 1024 bit（128byte），d 为私钥参数；e 为公钥指数(一般使用 65537 - 0x010001)

3. 加密

RSA 加密是对明文的 E 次方后除以 N 后求余数的过程，有了 E和 N 就可以完成 RSA 加密，E、N 是 RSA 加密的密钥，即 E 和 N 的组合为公钥。

4. 解密

对密文进行 D 次方后除以 N 的余数就是明文，即 RSA 解密过程。D和 N 就能进行解密，D 和 N 的组合为私钥。

5. 欧拉函数与模反元素

5.1 欧拉函数

任意给定正整数 n，计算在小于等于 n 的正整数之中，有多少个与 n 构成互质关系？计算这个值的方法就叫做欧拉函数，以 φ(n) 表示。

若一个数 n 可以分解为两个质数 p 和 q 的乘积，则有：
eg：在1~8 中，与 8 构成互质数的有：1、3、5、7，即 φ(8) = 4。

5.2 模反元素

6. 计算过程

6.1 N 值

假设 p =61，q = 53； n = ‭3233‬。

两个比较大质数 p，q 的乘积为 N。

6.2 φ(n) 值

根据 φ(n) = (p-1) * (q-1) 代入计算n的欧拉函数值。

φ(3233) = (61-1) × (53-1) = 60 × 52 = 3120

6.3 e 值

在 1 < e < φ(n) 之间，随机选择一个整数 e，且 e 与 φ(n) 互质，选择 e = 17。

6.4 e 对于 φ(n) 的模反元素 d

因为 e 与 φ(n) 互质，根据求模反元素的公式计算 e，对于 e 的模反元素 d 有：

ed ≡ 1 (mod φ(n)) 等价于 (ed - 1) / φ(n) = k（k为任意正整数）

ed - kφ(n) = 1

代入数据得：

17d - 3120k = 1 对这个不定方程求解（扩展欧几里得算法）得：

其中一组解为：(d, k)=(2753, 15)

至此，我们就得到了 RSA 的三个参量，即 n = ‭3233‬，e = 17，d = 2753。所以公钥为（‭3233‬，17）；私钥为（‭3233‬，2753）。而我们所说的 RSA1024，2048 就是指密钥对的长度（n的长度）。本例，长度就是 ‭3233‬ = ‭1100 1010 0001‬，即为 12 位。

6.5 加解密过程

（1）明文 m = 65；

（2）公钥 (n, e) = (3233, 17)

（3）加密 c = (m^e mod n) = ( (65 ^17) mod 3233) = 2790

（4）私钥 (n, d) = (3233, 2753)

（5）解密 m = (c^d mod n) = ((2790 ^2753) mod 3233) = 65

由上述过程可知，只要私钥不泄露，密文正常渠道是无法破解的，秘钥长度越长，破解的难度越大。

参考：

1. 什么是RSA非对称算法以及原理
2. RSA加密
3. 带你彻底理解RSA算法原理
4. RSA算法原理（一）
5. RSA算法原理（二）
6. RSA算法