线性代数笔记——(非)齐次线性方程组的解的向量形式

一、齐次线性方程组的解的向量形式

1、齐次线性方程组有非零解的条件

     如果AX=0 是F上的齐次线性方程组，那么下列论断等价：

     （1）AX=0有非零解；

     （2）

     （3）A的列向量组线性相关.

2、定理10  如果F上的矩阵A的秩为 r ，则齐次线性方程组AX=0的解空间N(A)的维数为.

     推论  设A是F上的矩阵，则A的行空间  的维数与零空间N(A)的维数满足 .

3、定义：齐次线性方程组AX=0的解空间的基称为方程组的基础解系.如果 是F上的齐次线性方程组AX=0的

     基础解系，那么AX=0的通解可以表示为  ,其中 为F中的任意常数.

二、非齐次线性方程组的解的向量形式

1、设A是F上的矩阵  是A的列向量组，那么下列论断等价：

（1）线性方程组AX=有解；

（2）;

（3）;

（4）

2、定义：齐次线性方程组AX=0 称为非齐次线性方程组AX= 的导出方程组.

3、引理4  如果， 都是线性方程组AX= 的解，那么  是其导出方程组AX=0的解.

      证明：  因为 ，所以 ,

      因此，是齐次线性方程组AX=0的解.

4、引理5  如果是线性方程组AX= 的解，是其导出方程组AX=0的解，则是AX=的解.

5、设F上的线性方程组AX=有无穷多个解，即  .设是AX=的一个特解，是其

      导出方程组AX=0的一个基础解系，如果是AX= 的解，则存在  ，使得

       ,进一步地，当  为F中任意常数时，

       是线性方程组AX=的通解.

   证明：因为和都是AX=的解，根据引理4，是AX=0的解，因此，可以由线性表示，

   即存在常数  ，使得  由此可得

   如果是F中的任意常数，那么根据引理5， 是线性方程组AX=的解，

   因此，是线性方程组AX=的通解.证毕

6、例题

     求下列线性方程组向量形式的通解：

          

     解：用初等行变换将方程组的增广矩阵化为简化阶梯形

     

     写出以T为增广矩阵的方程组

      ,其中  为自由未知数.

     将所得方程组中含有自由未知数的项都移到等式右边得

       ，令，得到原方程组的一个特解

      下面求原方程组的导出方程组的基础解系，得到方程组

        与原方程组的导出方程组同解.

       分别令  ,得 

       故导出方程组的基础解系为, 

       因此，原方程组的通解为 ,其中为任意常数.