单测量矢量多目标精确DOA估计的高效稀疏表示算法

单测量矢量多目标精确DOA估计的高效稀疏表示算法

 

作者：Seong-Hyeon Lee , In-OChoi ,Min-Seok Kang , Kyung-Tae Kim

（浦项科技大学电子与电气工程系，韩国浦项790-784）

联系方式：K.-T. Kim，浦项科技大学电子与电气工程系，韩国浦项790-784。

电子邮件：[email protected]

 

摘要

为了快速准确地实现使用单个测量向量（即阵列信号向量）确定多个目标的波达方向（DOA）估计，我们使用逐步搜索方法，提出了一种基于正交匹配追踪（OMP）的新型高效稀疏表示算法。

无论冗余字典（即阵列流形矩阵）的高度相互连贯性如何，与最新的迭代局部搜索OMP方法相比，多目标波达方向估计的最优稀疏解决方案的计算代价相对较低。

几个仿真和实验结果表明，该方案在噪声环境和其他稀疏表示算法中比现有的基于子空间的算法要有效得多，甚至在实际的测量情况下也是如此。

 

关键词

波达方向估计、正交匹配追踪、单个测量向量、稀疏信号表示。

 

1引言

波达方向（DOA）估计已经成为雷达，声纳等阵列信号处理领域的重要课题之一[1-3]。已经有一些有效的多目标DOA估计技术作为基于子空间的算法[4-6]，包括多信号分类（MUSIC）和通过旋转不变性技术估计信号参数（ESPRIT）技术。然而，当仅有单个测量向量（即，阵列信号向量）被用于多个目标的DOA估计时，由于统计性质差，使用传统的基于子空间的算法来确定真实的DOA并不容易。这个问题可以通过使用解相关技术来解决，例如空间平滑[7]。然而，空间平滑使得用于DOA估计的天线单元的有效数量减少，这进而降低了角度分辨率。这会导致估计精度方面的性能下降，特别是在低信噪比的情况下。虽然可以应用最大似然法，但这种方法的缺点是由于其深入的搜索过程，计算上效率低下[8] 应该注意的是，由于一些现有的次优稀疏表示算法能够只利用少量快照就可以解析出目标以及它们对高相关性的稳健性，所以这些算法可被应用于使用单个测量向量来确定多个目标的DOA[9-15]。其中，正交匹配追踪（OMP）是一种代表性算法，与其他贪婪算法相比，其估计误差相对较小，产生近似的L0范数解，且计算成本极低[15]。因此，如果OMP得到的最优解得到充分保证，OMP对于多个目标的快速和稳健DOA估计是最合理的。然而，大冗余字典（即阵列流形矩阵）中的导向矢量之间的高互相关性阻止我们获得多个目标的真实DOA，特别是当目标之间的角度分离或阵列元素的数量很小时。因此，已经有一些试验来改进基于OMP的估计性能。在最小化残差可以获得真正的稀疏解的假设基础上，优化的OMP（OOMP）算法[16]已被设计为使用正交最小二乘（OLS）方法来改进传统方法。然而，主导目标的DOA的初始估计支持仍然由于高相互一致性而被扭曲，这又导致OLS学习错误。近年来，一种改进的算法，称为迭代局部搜索正交匹配追踪(ILSOMP) 方法[17]，发展成不论冗余字典的高相互一致性如何，它都可以获得多个目标的精确DOA估计。尽管在估计精度方面它有优越的性能，但这种方法在每次迭代时都会带来高计算复杂度，这是由用以找到对应于最小残差值的正确DOA的局部穷举搜索引起的。因此，在这项研究中，我们通过使用逐步搜索方法（SSS-OMP）而提出了一种基于OMP的新型高效稀疏表示算法。，由于提出的方案保持了优异的估计性能，使得获得多个目标的最优DOA所需的计算复杂度与ILS-OMP相比显著降低。因此，所提出的方案当然可以应用于许多应用，以使用单个测量矢量来确定多个目标的准确DOA。本文的结构如下：第2节介绍了信号模型和传统的OMP算法;本节还介绍了推荐的方案。在第3节中，为了验证所提出的方案的有效性，提出了几个仿真和实验结果，并分析了计算成本。最后，我们的结论总结在第4节。

 

2推荐的方案

2.1信号模型和传统的OMP算法

当目标K的回波信号作用在一个由M个全向元素组成的均匀线性阵列(ULA)天线上时，可以得到一个阵列信号向量如下：

（1）

其中是一个用转置算子T作用K个复值目标响应得到的向量，是一个用来表示加性噪声分量的向量，而是一个定义如下的导向矢量矩阵:

（2）

其中

（3）

在(3)中，d是相邻数组元素之间的间距，是波长，是第k个目标的DOA。基于源与整个空间域相比相对稀疏的事实，稀疏DOA估计技术为(1)中阵列信号向量的解释提供了一种新的方法。我们定义一个具有高度冗余基的阵列流形矩阵如下:

（4）

然后，方程1可以重写为

（5）

其中是一个与相关的稀疏辐射源，如下:

（6）

然后，我们可以通过将传统的OMP算法15应用到来估计，就像众多研究中一样[18][19]，我们假设K是先验的。在每一次迭代中，OMP算法通过确定残差和A’的导向矢量之间的最大相关性得到一个新的支持元素。随后，利用最小二乘法(LS)方法确定了辐射源[12]。注意，剩余的向量也将通过在每次迭代中减去估计的辐射源的贡献来重新计算。在K次迭代后，最终得到K个非零元素的最终辐射源和K个目标的DOA估计对应的支持集。

 

2.2推荐的逐步搜索OMP算法

对于线性系统，则OMP算法能够保证找到唯一稀疏解（即，一般来说真正的支撑集），如果服从如下特定的条件 [10]：

(7)

其中表示和的非零项的个数，下面给出了是的互相干性

(8)

其中是转向向量A’中第a个和第b个之间的点乘积, 是双范数算子。然而, 对于与多目标相关的 DOA 估计问题 (即 )，(7)通常是不符合的, 因为对于依靠少量的元素 (即 ) 的DOA估计，中冗余基(即导向矢量) 使得几乎接近于1。这意味着使用传统的OMP算法得到的最优解往往不能表示真正的DOA估计。在这种情况下, 传统的OMP 算法在 DOA 估计中产生较大的误差。此外，当多个目标之间的DOA估计差异相当小时，性能的恶化就变得更加重要[17]。这是因为传统的 DOA 估计 OMP 算法在 u 域 () (即瑞利极限) 上有傅立叶分辨率, 它被定义为。因此,当两个目标的 OMP 小于瑞利极限时, 传统的算法不能区分两个目标。为了解决这一问题, 我们提出了一种新的方案, 称为估计多目标精确DOA估计的SSS-OMP算法, 无论冗余字典的高互相干性如何, 假设真正的支持集可以通过最小化残差来估计。

让我们假设目标的数目是2(即:例如,K= 2)。首先，传统的OMP算法用于确定初始支持集，其中和分别是目标#1和#2的初始支持元素。因此，我们可以分别获得和两个目标的初始DOA估计，如图1A所示。为了找到两个目标的更准确的DOA估计，我们通过几个迭代的逐步搜索技术对支持集进行了优化。值得提醒的是，OMP算法的DOA估计分辨率是瑞利极限[17]。因此，在第一次迭代中，我们使用LS方法计算每个支持集的附加辐射源为（见图1A），其中c是最初确定为如下的正整数：

(9)

在（9）中，是一个角度采样网格()，表示大于x的最小整数。这意味着选择初始c被选为与目标＃1的初始DOA附近的瑞利极限相关的辐射源（即，和）然后新获得。在这个例子中，M，d和分别被设置为10，一个波长和1.58，然后使用（9）将c确定为4。

接下来，我们比较三种情况的残差。 然后，确定目标＃1的新支持元素与，和中的最小残值相关联。 类似地，目标＃2的新支持元素j以相同的方式从，和中选择，而对目标＃1的支持元素固定为（见图1B）和图1C）。 在此之后，c被更新为下一次迭代为c

(10)

其中表示不大于x的最大整数。这意味着c不小于1。然后，重复整个过程，直到在第p次迭代处的更新的支持集和先前的支持集是相同的并且c = 1。最后，我们确定最终支持集为，两个目标的DOA估计分别为和。

基于传统OMP的现有最新算法ILS-OMP也可以使用迭代穷举局部搜索来获得辐射源和对应于最小残差值的支持集[17]。然而，用于在每次迭代处更新支持集的计算复杂度是O（），其中是A’中用于局部穷举搜索的所利用的导向矢量的数量。一般而言，被确定为几十，因为应该覆盖瑞利极限。因此，ILS-OMP算法的计算成本可能太高而不能获得多个目标的准确DOA。另一方面，在所提出的方案中，每次迭代更新的新的支持集的计算复杂度为O（），这比ILS-OMP的低得多。此外，我们发现，只需几次迭代就可以轻松满足所提出的SSS-OMP算法的停止标准。因此，当使用所提出的方案而不是ILS-OMP算法时，计算负荷急剧降低。事实上，与传统的OMP和OOMP相比，所提出的方案带来了额外的计算负担。然而，使用所提出的方案可以获得使用单个测量矢量的多个目标的更精确的DOA估计。在第3.3节中，将通过仿真和实验结果，对ILS-OMP和SSS-OMP之间的计算成本进行了详细的比较。

值得注意的是，SSS-OMP不同于多重网格压缩传感（MCS）方法[13]，MCS通过少量的迭代使网格在先前估计的支持元素周围变得精细。经过若干次迭代以细化MCS方法的网格，由离散网格造成的偏差可以忽略不计[13]。

 

 

图1 DOA使用逐步搜索技术估计两个目标（目标＃1：红色和目标＃2：蓝色）。 （A）针对目标＃1的支撑元件的优化。 （B）针对目标＃2的支持元素的优化。 （C）两个目标的新更新DOA。

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然而，随着网格之间的间隔增加，这种冗余字典会导致更高的一致性。因此，仅由MCS方法不能解决由高互相关性引起的估计误差。另一方面，所提出的方法利用具有恒定间隔（）的原始粗网格来确定g个多目标的真实DOA。由于在SSS-OMP的每次迭代中都没有变化，因此所提出的方案不能减少粗网格导致的偏差。或者，我们引入逐步搜索方法来找到最优支持元素，该方法使用逐步减小的角度梯级cxDg直到达到。由于采用了这种方法，与ILS-OMP相比，我们可以以更快的速度减轻由阵列流形矩阵的相邻导向矢量之间的高互相关性导致的DOA估计误差。总之，使用SSS-OMP技术提出的K个多目标的DOA估计如图2所示。

 

3结果

3.1仿真结果

我们假设三个回波信号;目标＃1（DOA：0）、目标＃2（DOA：4）和目标＃3（DOA：8）作用在由10个阵列元件组成的ULA天线上，相邻元件之间具有半波长间隔。在这种情况下，u域中相邻目标之间的DOA差约为0.07，远小于瑞利极限。因此，与传统的OMP算法不同，角度分离（4）是合理的，以验证所提出的方案可以提供多个目标的准确DOA，其位置比瑞利极限更接近。为了估计这三个目标的DOA，我们将不同的稀疏表示算法（传统的OMP，OOMP，ILS-OMP和SSS-OMP）和现有的基于子空间的方法（Root-MUSIC和ESPRIT）应用到阵列信号矢量。在稀疏表示算法中，阵列流形矩阵包括241个导向矢量，这些矢量与范围从-60到60（）的有关。此外，基于子空间方法的空间平滑子阵的维数设定为8。

图3和表1给出了当考虑5到30 dB范围内的几个SNR值和5 dB步长时，估计的DOA的均方根误差（RMSE）和使用不同方法的过去的计算时间。 对于每个SNR值，进行了300次Monte-Carlo模拟。 估计角度的均方根误差定义为

(10)

其中K = 3是目标数量，是Monte-Carlo模拟的数量，是第i个目标的真实DOA，是第n个模拟试验中第i个目标的估计DOA。

 

图2使用SSS-OMP技术提出的DOA估计。

 

图3每个DOA估计技术的均方根误差。 [颜色图可以在wileyonlinelibrary.com上查看]

 

我们可以观察到SSS-OMP产生的三个目标的DOA与ILS-OMP获得的DOA是类似的，两者在所有SNR上都比传统OMP和OOMP的准确度要高。 而且，与ILS-OMP相比，使用所提出的方案所耗费的计算时间显著减少了大约10倍。 应该指出，与提出的方案相比，基于子空间的方法在低信噪比（）下均方根误差值高。 因此，很显然，在嘈杂的环境中，所提出的方案比现有的基于子空间的算法更有效。

为了分析精细网格对OMP算法的影响，我们另外分别演示了在超过300个Monte-Carlo模拟的角度域中具有大过采样率的OMP算法的平均计算时间和均方根误差值，如表2和图 4。 在这种情况下，用于三点目标和系统的模拟条件是相同的，除了网格之间的间隔。 当∆g从0.5减小到0.05时，我们可以从表2看出，平均计算时间增加了大约10倍，因为OMP算法是以大于10倍的过采样率执行的。

 

表1每个DOA估计技术的平均计算时间（s）

 

图4各个DOA估计方法的性能比较。

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此外，由于大网格间隔引起的偏置误差减少（见图4），均方根误差值在所有SNR值下都较低。然而，尽管网格间隔非常小，，但传统OMP的均方根误差值与的情况类似。如所讨论的一样，这意味着的OMP算法的估计误差不是由大的网格间隔引起的，而是由于阵列流形矩阵的相邻导向矢量之间的高互相干性。换句话说，即使将现有的OMP算法应用于角度域中的精细网格，也不能完全消除由高互相关引起的估计误差。然而，即使在时，SSS-OMP产生的均方根误差值也远低于传统的具有较大过采样率的OMP，在所有SNR中均如此。因此，我们可以得出这样的结论：该方案可以使用单个测量矢量对多个目标产生准确的DOA估计结果，这是传统的OMP算法与细网格无法实现的。

 

3.2利用汽车雷达的测量数据得到的实验结果

在本节中，所提出的方案的性能是依据使用由八个阵列接收通道组成的ULA天线的汽车雷达获得的测量数据来评估的，阵列接收通道使用距离-多普勒（R-D）处理来检测目标[20]。如图5（两个目标的DOA：-2.5和2.5）所示，我们测量了具有相同径向距离、相隔约3.5m的两个固定角反射器的目标反射波。我们使用汽车雷达发射具有70us 脉冲重复间隔的330兆赫兹的啁啾脉冲进行数据记录。随后, 每个阵列接收通道收集了256个脉冲。测量后, 进行了距离-多普勒处理。

 

表2各DOA估计技术的平均计算时间

 

一般情况下, 如果同一天线束中的多个目标具有相似的径向距离和相对速度, 则目标的反射波在距离-多普勒处理后的同距离-多普勒箱中叠加[21]。 因此, 两个反射器的回声信号叠加在一个距离-多普勒箱中。然后, 通过检测单个阵列接收通道对应的单距离多普勒箱信号分量, 得到了一个单测量矢量(即阵列信号矢量)。接下来, 我们将六种不同的技术 (Root-MUSIC、 ESPRIT、传统 OMP、OOMP、ILS OMP 和 OMP) 应用到 阵列信号矢量中, 用于对两个反射器的 DOA 估计。在这种情况下, 阵列流形矩阵与3.1节中引入的模拟结果相同, 子阵空间平滑的维数设置为7。我们对目标反射波进行了100多次的测量, 并在每次测量重复了整个DOA 估计的过程。我们引入了分贝度量值和从-到的不同测量的阵列信号矢量的相位，如图6(8×100矩阵数据)。矩阵数据的每一列分别表示与单个试验对应的阵列信号向量的大小和相位。

然后，DOA估计的均方根误差值和平均计算时间如表3所示。这些结果表明，SSS-OMP在六种不同的算法中提供了最精确的DOA估计，与ILS-OMP相比，计算时间减少了约10倍。因此，我们可以得出这样的结论:该方案在估计精度方面具有较低的计算成本，与ILS-OMP相比，即使在实际的测量案例中，也能得到很好的性能。

 

图5二维空间中用于两个反射体DOA估计的几何图形。

 

3.3关于计算复杂度的讨论

此外，我们还比较了ILS-OMP和SSS-OMP在模拟和实验结果中的计算成本。ILS-OMP和SSS-OMP在每次迭代的计算复杂度分别为O()和O（），基于这个事实，在理论上每一次迭代中ILS-OMP的计算复杂度都比SSS-OMP的计算复杂度高约倍。在模拟和实验的结果中，对ILS-OMP的ND设置为45，足以覆盖瑞利极限。此外，在模拟结果中，与ILS-OMP和SSS-OMP对应的总迭代的平均值分别约为4.2和6.4，在实验结果中分别为3.7和6。因此，在仿真结果中，ILS-OMP的计算复杂度比SSS-OMP的计算复杂度要高（45/3）x（4.2/6.4）=9.8，在实验结果中高（45/3）x（3.7/5.9）=9.4。与ILS-OMP相比，SSS-OMP几乎相当于减少了10倍的计算时间(见表1和表3)。

 

图6 测量阵列信号向量的矩阵数据:(A)模量(dB)和(B)相位。

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表3 每个DOA估计技术的均方根误差值和平均计算时间(s)。

 

4结论

在本研究中，我们开发了一种新的DOA估计算法，用于在短时间内使用单个测量向量来确定多个目标的精确DOA估计。该方案包括两个步骤:(1)使用传统的OMP方法进行粗略估计，(2)利用新提出的逐步搜索技术进行精细估计。

由于采用了这种新方法，相对于ILS-OMP的局部穷举搜索，更新支持集的计算复杂性大大降低了。与相关的稀疏表示算法和基于子空间的方法相比，在仿真和实验结果的基础上采用实测数据，保证了较好的估计精度。特别是在噪声环境下，提出的方案比现有的基于子空间的方法更适用于多个目标的DOA估计。因此，在各种情况下，提出的方案在实现多个目标的准确DOA估计方面具有优势。

 

开放研究者与贡献者ID：

Seong-HyeonLee：http://orcid.org/0000-0002-1811-2022

 

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