DTW(Dynamic Time Warping)算法

变量定义

1.warping function

F=c(1),c(2)...c(k)...c(K)

其中 c(k)=(i(k),j(k))
表示两个语音特征序列A和B之间的映射关系。
2.time-normalized distance

D(A,B)=MinF[∑Kk=1d(c(k))⋅w(k)∑Kk=1w(k)]

其中 ∑w(k) 用来归一化不同路径的K大小不一致的问题， d() 表示两个特征向量之间的距离。

warping function的限制条件

1.单调性

i(k−1)≤i(k) and j(k−1)≤j(k)

2.连续性

i(k)−i(k−1)≤1 and j(k)−j(k−1)≤1

由以上两个条件限制了只能向三个方向移动，向上/向右/向右上，而且每次只能移动一步
3.边界条件

i(1)=1,j(1)=1 and i(K)=I,j(K)=J

4.窗口限制

|i(k)−j(k)|≤r

加窗为了将对齐路径限制在对角线附近。
5.斜率限制

P=n/m

避免在横轴i方向或纵轴j方向走的太偏,当在一个方向走了m步以后，需要在对角线方向走n步。

权重系数w

有两种典型的计算方式
1.对称形式

w(k)=(i(k)−i(k−1))+(j(k)−j(k−1))

N=∑k=1Kw(k)=I+J

2.非对称形式

w(k)=(i(k)−i(k−1))

N=∑k=1Kw(k)=I

在j方向也一样。
对称形式的效果更好。

DP求解

假设使用对称形式的权重系数，不使用斜率限制
- 初始条件

g(1,1)=2d(1,1)

- DP

g(i,j)=min[g(i,j−1)+d(i,j)， g(i−1,j−1)+2d(i,j)， g(i−1,j)+d(i,j)]

其中窗口限制条件 j−r≤i≤j+r
- 距离

D(A,B)=1I+Jg(I,J)

算法流程图如下：

Reference

Dynamic Programming Algorithm Optimization for Spoken Word Recognition