如何给高中生讲微分方程（超基础）
本文适合拥有高中导数知识、对微积分有一点基础认识、对电路（电容）有一点了解的同学阅读
Section 0. 引言
“学长学长，再帮我看一道题呗！”
在刚刚写完四页电磁场实验的预习报告结果被告知第二次实验根本不用写预习报告之后，我陷入深深的自闭中。正在自闭，手机上就突然收到了这样一条微信。
结果发过来题目是这样：
求方程 x 2 + 165 = 2 y x^2+165=2^y x2+165=2y的正整数解的组数。
淦，这是什么题啊！这种扑面而来的自主招生的感觉令我瞬间喘不上气来。
在想了很长时间，用电脑写了个程序跑到x=0xFFFFFF依然找不出符合条件的结果后，我放弃了。
“好吧，那看一道物理题怎么样？”
那位同学发了一道物理题，一看图，稳了，图上画着一个电容器，一个电阻和一个电源串联。
“嗷，这个小意思。”
题目大概问的是一个电容充满电之后携带的能量。这个好办，就是 1 2 C U 2 \frac{1}{2}CU^2 21CU2嘛
“为什么是 1 2 C U 2 \frac{1}{2}CU^2 21CU2呢？“
当我看到了这个问题，我发现，今晚我又没法早睡了。
Section 1. 电容
“额，为什么是这样呢？这要从电容这玩意说起了。”
我们知道，电容（电容量）的定义式是这样
C = Q U C=\frac{Q}{U} C=UQ
而Q是电荷。电荷是什么呢？还记得电流的本质是什么吗？就是电荷的定向移动。如果电流是恒定电流，那么我们很容易求得Q=It.而如果电流非恒定呢？
Q = ∫ t 1 t 2 I ( t ) d t Q=\int_{t_1}^{t_2} I(t)\,dt Q=∫t1t2I(t)dt
“什么？又有积分？”
说实话，笔者在给高中生讲一些较深知识的时候会尽量避免讲到这些数学问题，尤其是微积分。因为笔者的微积分尽管到了大学依然还是游走在挂科的边缘，哭哭……
但是这里是真得无法避免了。
“没事，有积分不要紧，这里你就想成是Q=It在I不是定值时候的计算方法好了。我接下来再处理一下这个式子或许你会好理解一点。”
我们先把U乘到左边，再给这个式子两边求一下导数，可以得到：
C U C ( t ) ’ = I CU_C(t)’=I CUC(t)’=I
如果用更加传统的微商写法，可以写作 C d U C d t = I C\frac{dU_C}{dt}=I CdtdUC=I
记住这个式子，接下来我们会围绕这个式子进行很多操作，以及如果各位将来不幸成为了一位电子工程或者电气工程的学生，你将会和这个式子打很多交道。
Section 2. 电容的放电
现在，我们有了一个电容。当我们给这个电容充上电之后，这个电容里面就带有了能量。问题是带了多少能量呢？
我们可以用一个电阻消耗掉它上面的能量。具体怎么做呢？我们把这个电容摘下来，连接到一个已知电阻的两端，当我们闭合开关，这个电容里面的电荷就会跑出来形成电流，电流流过电阻就会做功产生焦耳热。
W = U I t , Q = I 2 R t W=UIt, Q=I^2Rt W=UIt,Q=I2Rt
这些式子大家都不陌生。那么现在的关键的问题在于求出在电容放电过程中这个电流或者电压是怎样变化的。
这里先给出结论：这种情况下，电阻（同时也是电容）两端的电压的表达式为
U R = U C = U 0 e − t R C U_R=U_C=U_0e^{-\frac{t}{RC}} UR=UC=U0e−RCt
为什么是这样的？我们来分析一下：
现在我们已知电容上面充上了电，电压是U_0_，而刚刚我们推导了 I = C U C ( t ) ’ I=CU_C(t)’ I=CUC(t)’
而对于电阻，我们有更简明的表达式： I = U R I=\frac{U}{R} I=RU。
我们再回到这个电路：电容和电阻通过如此简单的方式连在一起，一眼看出电压相等，电流相等。真的是这样吗？
细心的朋友或许也没发现：方向不对。
定义1（关联参考方向）：
电路中元件上面电压和电流规定的正方向为参考方向。
对于电压，即从高到低，或者从正到负为正方向。如果实际电压的方向与规定的正方向相反，则电压值取负。
对于电流，则电流的方向为正方向。
如果电压和电流的参考方向相同，则称该元件的电压电流取关联参考方向，反之称该元件的电压电流取非关联参考方向。
注意看，电阻的电流是从它电压高的一侧流入的，而电容却是从那一侧流出的。所以为了统一起见，我们要给其中一个加个负号。于是我们有下面这个式子：
I = − C U ( t ) ’ = U ( t ) R I=-CU(t)’ =\frac{U(t)}{R} I=−CU(t)’=RU(t)
即
− R C U ( t ) ’ = U ( t ) -RCU(t)’ =U(t) −RCU(t)’=U(t)
如果给一个方程类似于ax2+bx+c=0，这个大家都会解。然鹅这次不一样，这下方程里面的未知量变成了一个函数和它的导数，这就引出了我们今天的主角：
Section 3. 微分方程
定义2（微分方程）：
微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。
其实定义里面已经说得非常清楚了，微分方程，就是方程里面有微分嘛。具体到实际情况就是方程里面有一个未知函数及它的导数。比如
f ( x ) ’ = 2 x f(x)’=2x f(x)’=2x
这就是一个非常简单的微分方程。我们很容易能够猜出它有一个解，就是f(x)=x2。
注意看，我这里说的是一个解。很多朋友马上就发现了，f(x)=x2+1的导数也是2x，f(x)=x2+3的导数也是2x。事实上，f(x)=x2随便加一个常数都能满足导数为2x。
这个方程标准的解法是两边同时取积分。也就是
f ( x ) = ∫ 2 x d x = x 2 + C f(x)=\int 2x\,dx=x^2+C f(x)=∫2xdx=x2+C
不定积分后面会带上一个常数，这个常数就是上面出来的那个+1、+3、+几都行。
我们再来看一个较为简单的：
U ( t ) ’ = U ( t ) U(t)’ =U(t) U(t)’=U(t)
一个函数的导数等于它本身，大家很快想到一个解：ex。
没错，这个解代进去没问题。然鹅只有这个解吗？
刚才是+C，现在我们+C看看行不行？
貌似不行。左边+C求导没了，但是右边还在。等式不成立。
那乘C呢？
欸，这下ok了。左边乘C右边乘C，求导不影响这个C，两边抵消，没问题。
接下来再回到我们前面提到的那个方程：
− R C U ( t ) ’ = U ( t ) -RCU(t)’ =U(t) −RCU(t)’=U(t)
ex行吗？不太行。前面有个-RC系数。
不过想一下，求导多出来一个系数？这个貌似也有解决方法：
(e2x)’=2e2x
欸，有了。这个方程有解：
U ( t ) = C 1 e − t R C U(t)=C_1e^{-\frac{t}{RC}} U(t)=C1e−RCt
不过问题也就随之而来了：C1到底等于多少？
Section 4. 定解条件
C1到底等于多少？事实上如果只有这个方程，C1真得是等于几都行。但是毕竟在实际问题中C1一定有一个定值。
想一想，我们还有哪些条件没有用？
原始的问题是：给电容充电，使其两边的电压为U0……
欸，U0？初始时候的电压？
既然这个式子在开关闭合之后一直成立，那么闭合之前啥都没连，闭合的时候电容电压也不至于突然就变了吧。
事实上，只要电路中不出现冲激，电容的电压一定是连续的。
那么当t=0的时候，电压就应该是U0了。
没错，代入一解，C=U0
这下我们就得到了电压的最终解：
U ( t ) = U 0 e − t R C U(t)=U_0e^{-\frac{t}{RC}} U(t)=U0e−RCt
Section 5. 回到电容的能量
这下我们得到了电压的变化规律，根据能量守恒，电阻上面最终消耗的功率就是电容里面存储的功率。那电阻上面的功率怎么算呢？如果电压电流是恒定值，那就是W=UIt。如果不是恒定值，那就是：
W = ∫ 0 + ∞ U ( t ) I ( t ) d t W=\int_{0}^{+\infty}U(t)I(t)\,dt W=∫0+∞U(t)I(t)dt
具体计算过程如下：
W = ∫ 0 + ∞ U ( t ) I ( t ) d t W =\int_{0}^{+\infty}U(t)I(t)\,dt W=∫0+∞U(t)I(t)dt
= ∫ 0 + ∞ U 0 e − t R C ⋅ 1 R U 0 e − t R C d t =\int_{0}^{+\infty}U_0e^{-\frac{t}{RC}}·\frac{1}{R}U_0e^{-\frac{t}{RC}}\,dt =∫0+∞U0e−RCt⋅R1U0e−RCtdt
= U 0 2 R ∫ 0 + ∞ e − 2 t R C d t =\frac{U_0^2}{R}\int_{0}^{+\infty}e^{-\frac{2t}{RC}}\,dt =RU02∫0+∞e−RC2tdt
= 1 2 C U 0 2 =\frac{1}{2}CU_0^2 =21CU02
即
W = 1 2 C U 2 W=\frac{1}{2}CU^2 W=21CU2
原结论得证
Section 6. 结论
呼，又熬夜了……
因为考虑到读者的数学知识实在有限，这些东西实在没法再往细得讲，而且这玩意也没有之前的傅里叶变换那种东西有一点直观的解释，只好这样说了。
（完）