BZOJ 2750: [HAOI2012]Road【最短路】

首先介绍一个概念，最短路图（不是很重要只是方便我叙述）。

我们以$S$为起点对图$G$做一次最短路算法，如果$G$的子图$G^{\prime }$满足：$G^{\prime }$的任意一条边都在某一条最短路径上，且不在$G^{\prime }$的任意一条边都不在任意一条最短路径上，则将$G^{\prime }$称为点$S$的最短路图。

于是我们可以考虑枚举每个点作为起点，跑最短路。

然后讨论$i$的最短路图$G$上的边对于答案的贡献。

对于$G$上的边$x\to y$，设从$i$到$x$的最短路径有$cn{t}_1[x]$条，经过$y$且以$y$为出边的最短路径有$cn{t}_2[y]$条。

显然，根据乘法原理，在$G$中，边$x\to y$对答案的贡献为$cn{t}_1[x]\ast cn{t}_2[y]$。

于是我们考虑求得$cn{t}_1[],cn{t}_2[]$。

显然，在最短路图上，不存在环，于是我们先拓扑排序。

对于$G$上的边$x\to y$，显然有递推式$cn{t}_1[y]+=cn{t}_1[x]$，初始化$cn{t}_1[i]=1$

然后我们考虑拓扑排序的逆序，有递推式$cn{t}_2[x]+=cn{t}_2[y]$，初始化$cn{t}_2[]=1$

#include 
#define ll long long
using namespace std;

const ll N=1505;
const ll M=10005;
const ll Inf=1e18;
const ll Mod=1e9+7;

ll ans[M];
ll inc,from[M],to[M],edg[M],nxt[M],head[N]; 
ll n,m,in[N],dis[N],vis[M],cnt1[N],cnt2[N];

inline ll add(ll x,ll y) {
	x+=y;return x>=Mod?x-Mod:x;
}

inline ll mul(ll x,ll y) {
	return x*y%Mod;
}

void ins(ll x,ll y,ll z) {
	++inc;from[inc]=x;to[inc]=y;edg[inc]=z;nxt[inc]=head[x];head[x]=inc;
}

void spfa(ll s) {
	for(ll i=1;i<=n;i++) dis[i]=Inf,vis[i]=0;
	
	queueq;dis[s]=0;vis[s]=1;q.push(s);
	
	while(q.size()) {
		ll x=q.front();q.pop();vis[x]=0;
		for(ll i=head[x];i;i=nxt[i]) {
			ll y=to[i],z=edg[i];
			if(dis[y]>dis[x]+z) {
				dis[y]=dis[x]+z;
				if(!vis[y]) vis[y]=1,q.push(y);					
			}
		}
	}
}

void dfs1(ll x) {
	vis[x]=1;
	for(ll i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		ll y=to[i],z=edg[i];
		if(dis[y]==dis[x]+z) {
			in[y]++;
			if(!vis[y]) dfs1(y);
		}
	}
}

void dfs2(ll x) {
	for(ll i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		ll y=to[i],z=edg[i];
		if(dis[y]==dis[x]+z) {
			vis[i]=1;cnt1[y]=add(cnt1[y],cnt1[x]);
			if(--in[y]==0) dfs2(y);
		}
	}
}

void dfs3(ll x) {
	cnt2[x]=1;
	for(ll i=head[x];i;i=nxt[i]) {
		ll y=to[i],z=edg[i];
		if(dis[y]==dis[x]+z) {
			if(!cnt2[y]) dfs3(y);
			cnt2[x]=add(cnt2[x],cnt2[y]);
		}
	}
}

int main() {
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	
	for(ll i=1;i<=m;i++) {
		ll x,y,z;
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);ins(x,y,z);
	}
	
	for(ll i=1;i<=n;i++) {
		spfa(i);
		memset(vis,0,sizeof(vis));dfs1(i);
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		memset(cnt1,0,sizeof(cnt1));
		memset(cnt2,0,sizeof(cnt2));cnt1[i]=1;dfs2(i);dfs3(i);
		for(ll j=1;j<=m;j++) if(vis[j]) ans[j]=add(ans[j],mul(cnt1[from[j]],cnt2[to[j]]));
	}
	
	for(ll i=1;i<=m;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
	
	return 0;
}