你懂测度吗(I)?

测度论对于门外汉来说似乎有道难以逾越的门坎，其公理化的定义让人摸不着头脑。然而如果没有她，概率论恐怕要象牛鬼蛇神一样由于那羞于启齿的出身而难以立足，是测度论使它得以“从良”。

  

微积分之伟大并不仅仅在于她为自然科学研究提供了强有力的工具，还在于她对近代数学产生了深远的影响。从如今的测度论教科书中你或许难以发现测度与微积分到底有什么关系，然而如果你仔细去推敲与寻找，你会发现其中依然闪耀着微积分的光辉！

  

抽象测度论通常都是将人们熟悉的区间的“长度”、区域的“面积”等概念的共性（即公共特征）提炼出来形成一套公理，在此基础上进行逻辑演绎得出一整套的理论，这与其它近代数学分支是类似的。问题是，我们为什么要这么做？她能给我们带来什么好处？如果这个问题不搞清楚，我们难免会产生一种错觉：原来数学家们一直在关着门自娱自乐呢。

   

我在过去的博文中曾经说到过Riemann积分的缺陷问题，并讲到如何克服这个缺陷从而使可积函数的范围大大拓展，绥阳兄在其博文“物理学中第一把打开无限维空间几何的钥匙”中介绍了更广泛意义下的函数概念—广义函数，它对自然科学的影响是巨大和深刻的，对现代数学的影响也是不可估量的。假如以函数为线索来看分析数学的发展历程，则可以简单地概括为：连续函数（微积分）--可测函数（实变函数）--广义函数（泛函分析）。从“连续函数”到“可测函数”需要跨越一关，这就是测度。当然，实变函数中的测度是比较具体的测度—Lebesgue测度，所以多少还是带有构造性的痕迹，但正是这种构造性的测度为我们理解一般测度提供了帮助。所以，如果不学习实变函数而是直接学习测度论，对测度论的本质就很难理解，只能从形式到形式。

   

如何知道一个函数是否Riemann可积呢？通常的做法是相对于函数定义域的任意划分，找一些小矩形把曲边矩形包住，再找些小矩形包含在曲边矩形内，“内外夹攻”，只要两者的极限是一样的，则该函数一定是可积的（如下图）。

   

正是由于“内外夹攻”后最后汇于一点（同一个极限），对函数就有了要求，用绥阳兄的话来说就是这些函数要比较“乖”才行（即“基本”上连续），Dirichlet函数是典型的不“乖”的函数。微积分的缺陷严重制约了它的应用范围。如果从更高的层面上来看微积分，我们会发现Riemann积分关于极限是不完备的（正如有理数不完备一样），换句话说，Riemann可积函数的极限未必是可积的，这严重制约了积分极限理论的应用，事实上，即使在实际问题中也经常遇到积分的极限问题，人们常常为积分与极限的顺序是否可交换而伤透脑筋。为了克服这一缺陷，产生了新型的积分理论—Lebesgue积分。非数学专业的学生一般是不学实变函数的，但在我看来，有条件的话，非数学专业的学生也应该了解一点近代分析学，至少应该知道它的基本思想。

  

 为了清楚地理解Lebesgue积分，首先要了解Lebesgue测度，这我在过去的博文“Riemann积分并非战无不胜” （http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=46893）中已作过阐述，这里就不赘述了。为了不增加理解上的困难，我们以直线上的集合为例，如果I是直线中的区间（可以是开的、闭的或半开半闭的），则I的长度为|I|=b-a，其中a，b分别为I的左端点与右端点。如果E是直线R¹的一个一般的子集，如何定义E的“长度”呢？熟悉Riemann积分的人可能比较自然地会想到，用一些区间去分割它，然后以区间的长度之和近似代替E的长度。但值得注意的是，由于E是一般的集合，它可能不含任何区间，例如若E是有理数集，它不可能充满任何区间。因此，我们不能象Riemann积分那样企图采用矩形内外夹挤的办法来定义一般集合的“长度”。尽管如此，Riemann积分的思想还是给了我们极大的启示，它依然是我们的出发点，只不过具体做法稍不同。

   

定义 设E是R¹的点集E，I_i是R¹中的一列开区间,其并覆盖了E，则

 确定了一个非负的数u（或+ ）。记m*E=inf{|,I_i是开区间}。称m*E 为E的Lebesgue外测度。

应该注意到，由于没有假定E是有界集，所以 m*E有可能是+ ，就象（a，+ ）的长度是+ 一样。

    

由于在R¹中任意平移一个区间并不改变其长度，所以外测度也具有平移不变性，此外外测度还有如下几个基本性质：

  

性质1 m*E 0,空集的测度为0(非负性)。

  

性质2 若 , 则m*Am*B(单调性)。

  

性质3   (次可数可加性)。

   

性质1是显而易见的。如果注意到当 时，凡是能盖住B的开区间序列一定也能盖住A，则由外测度定义很容易得到m*Am*B。事实上，盖住A的开区间序列的全体比盖住B的开区间序列全体更多。性质3的证明要复杂些，此处从略。

   

看起来似乎外测度概念推广了通常的“长度”概念，我们所期待的问题已经解决，但是，当我们完成了在某个原始概念基础上推广或建立一个新的概念后，首先必须回过头来审查一下这一概念是否具有合理性，所谓合理性应包括下面两个方面的问题：1、它是否的确为原始概念的自然推广？2、它是否继承了原始概念的基本特征？按上述方式定义的外测度是不是区间长度概念的一种推广呢？这就要看看当I是区间时，其长度与外测度是否相等。假设I是区间或是从某个区间挖去有限个开区间后剩下的部分， 可以证明,I的长度与其外测度是相等的。

  

这说明外测度确是“长度”概念的自然拓广。至此，集合的“长度”问题似乎已得到解决，但事情远非如此简单。