高斯模糊与图像卷积滤波

一.图像卷积滤波与高斯模糊

1.1 图像卷积滤波核

对于滤波来说，它可以说是图像处理最基本的方法，可以产生很多不同的效果。以下图来说

图中矩阵分别为二维原图像素矩阵，二维的图像滤波矩阵（也叫做卷积核，下面讲到滤波器和卷积核都是同个概念），以及最后滤波后的新像素图。对于原图像的每一个像素点，计算它的领域像素和滤波器矩阵的对应元素的成绩，然后加起来，作为当前中心像素位置的值，这样就完成了滤波的过程了。

可以看到，一个原图像通过一定的卷积核处理后就可以变换为另一个图像了。而对于滤波器来说，也是有一定的规则要求的。

① 滤波器的大小应该是奇数，这样它才有一个中心，例如3x3，5x5或者7x7。有中心了，也有了半径的称呼，例如5x5大小的核的半径就是2。
② 滤波器矩阵所有的元素之和应该要等于1，这是为了保证滤波前后图像的亮度保持不变。当然了，这不是硬性要求了。
③ 如果滤波器矩阵所有元素之和大于1，那么滤波后的图像就会比原图像更亮，反之，如果小于1，那么得到的图像就会变暗。如果和为0，图像不会变黑，但也会非常暗。
④ **对于滤波后的结构，可能会出现负数或者大于255的数值。对这种情况，我们将他们直接截断到0和255之间即可。对于负数，也可以取绝对值。

1.2 卷积核的一些用法

既然知道滤波器可以用来对原图进行操作，那么，有没有一些比较具体的例子。文中卷积核相关图片来源于网络
1.2.1 空卷积核

可以看到，这个滤波器啥也没有做，得到的图像和原图是一样的。因为只有中心点的值是1。邻域点的权值都是0，对滤波后的取值没有任何影响。

1.2.2 图像锐化滤波器
图像的锐化和边缘检测很像，首先找到边缘，然后把边缘加到原来的图像上面，这样就强化了图像的边缘，使图像看起来更加锐利了。这两者操作统一起来就是锐化滤波器了，也就是在边缘检测滤波器的基础上，再在中心的位置加1，这样滤波后的图像就会和原始的图像具有同样的亮度了，但是会更加锐利。

我们把核加大，就可以得到更加精细的锐化效果

1.2.3 浮雕
浮雕滤波器可以给图像一种3D阴影的效果。只要将中心一边的像素减去另一边的像素就可以了。这时候，像素值有可能是负数，我们将负数当成阴影，将正数当成光，然后我们对结果图像加上128的偏移。这时候，图像大部分就变成灰色了。
下面是45度的浮雕滤波器

我们只要加大滤波器，就可以得到更加夸张的效果了

1.2.4 均值模糊

我们可以将当前像素和它的四邻域的像素一起取平均，然后再除以5，或者直接在滤波器的5个地方取0.2的值即可，如下图：

可以看到，这个模糊还是比较温柔的，我们可以把滤波器变大，这样就会变得粗暴了：注意要将和再除以13.

可以看到均值模糊也可以做到让图片模糊，但是它的模糊不是很平滑，不平滑主要在于距离中心点很远的点与距离中心点很近的所带的权重值相同，产生的模糊效果一样
而想要做到平滑，让权重值跟随中心点位置距离不同而不同，则可以利用正态分布（中间大，两端小）这个特点来实现。

1.3 高斯模糊

有了前面的知识，我们知道如果要想实现高斯模糊的特点，则需要通过构建对应的权重矩阵来进行滤波。

1.3.1 正态分布

正态分布中，越接近中心点，取值越大，越远离中心，取值越小。
计算平均值的时候，我们只需要将"中心点"作为原点，其他点按照其在正态曲线上的位置，分配权重，就可以得到一个加权平均值。正态分布显然是一种可取的权重分配模式。

1.3.2 高斯函数

如何反映出正态分布？则需要使用高函数来实现。
上面的正态分布是一维的，而对于图像都是二维的，所以我们需要二维的正态分布。

正态分布的密度函数叫做"高斯函数"（Gaussian function）。它的一维形式是：

其中，μ是x的均值，σ是x的方差。因为计算平均值的时候，中心点就是原点，所以μ等于0。

根据一维高斯函数，可以推导得到二维高斯函数：

有了这个函数 ，就可以计算每个点的权重了。

1.3.3 获取权重矩阵

假定中心点的坐标是（0,0），那么距离它最近的8个点的坐标如下：

更远的点以此类推。
为了计算权重矩阵，需要设定σ的值。假定σ=1.5，则模糊半径为1的权重矩阵如下：

这9个点的权重总和等于0.4787147，如果只计算这9个点的加权平均，还必须让它们的权重之和等于1，因此上面9个值还要分别除以0.4787147，得到最终的权重矩阵。

除以总值这个过程也叫做”归一问题“
目的是让滤镜的权重总值等于1。否则的话，使用总值大于1的滤镜会让图像偏亮，小于1的滤镜会让图像偏暗。

1.3.4 计算模糊值
有了权重矩阵，就可以计算高斯模糊的值了。
假设现有9个像素点，灰度值（0-255）如下：

每个点乘以自己的权重值：

得到

将这9个值加起来，就是中心点的高斯模糊的值。
对所有点重复这个过程，就得到了高斯模糊后的图像。对于彩色图片来说，则需要对RGB三个通道分别做高斯模糊。

1.3.5 边界值问题

既然是根据权重矩阵来进行处理的

如果一个点处于边界，周边没有足够的点，怎么办？

① 对称处理，就是把已有的点拷贝到另一面的对应位置，模拟出完整的矩阵。
② 赋0，想象图像是无限长的图像的一部分，除了我们给定值的部分，其他部分的像素值都是0
③ 赋边界值，想象图像是无限制长，但是默认赋值的不是0而是对应边界点的值

作者：Hohohong
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来源：简书
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