小波变换理论讲解

文中所用代码可到此下载：http://www.codeforge.cn/read/244807/waveback.m__html

下面先对小波变换的基本理论进行阐述，再结合程序及运行结果对其更深入地理解。

一、小波变换理论

（一）小波序列

     ϕ(t)∈L^2 (R)，称ϕ(t)为一个基本的小波和母小波，其中L^2 (R)指均方可积空间。小波一定满足：

这也是称之为“小波”的意义。将母函数进行伸缩和平移后，可以得到小波序列：(a,b∈R,a≠0)，其中a,b分别为伸缩因子和平移因子。

（二）连续小波变换及逆变换

     任意的函数f(t)∈L^2 (R)的连续小波变换为：，记，其中相当于小波变换的系数。可以看出连续小波变换就是信号与小波函数的卷积，小波函数事实上就是信号处理的一个滤波器。其逆变换为：

   

     小波变换实质上将L^2 (R)空间中的任意函数f(t)表示为其在不同伸缩因子和平移因子上的投影的叠加，与傅里叶变换仅将f(t)投影到频率域不同的是，小波变换将一维时域函数映射到二维“时间-尺度”域上，因此f(t)在小波基上的展开具有多分辨率的特性。通过调整伸缩因子和平移因子，可以得到具有不同时频宽度的小波以匹配原始信号的任意位置，达到对信号的时频局部化分析的目的。举个粗略的例子，就像用镜头观察目标f(t),ϕ(t)代表镜头所起的作用，b相当于使镜头相对于目标平行移动，a相当于镜头向目标推进或远离，由此可见b仅仅影响时频窗口在相平面时间轴上的位置，而a不仅影响时频窗口在频率轴上的位置，也影响窗口的形状。这样小波变换对不同频率在时域上的取样步长是可调节的，也就是多分辨率。

（三）离散小波变换及逆变换

     对参数a,b进行展开后，就得到任意时刻任意精度的频谱，但是对实际精度来讲，计算量太大，所以将其离散化。从理论上可以证明，将连续小波变换成离散小波变换，信号的基本信息并不会丢失。相反由于小波基函数的正交性，使得小波空间中两点之间因冗余造成的关联消失，同时由于正交性，使得计算的误差更小，变换结果“时—频函数”更能反映信号本身的性质。

离散小波函数表示为：

离散小波系数表示为：

如果，则称为二进小波。
      数学中，函数空间是从集合X到集合Y的给定种类的函数几何，将平方可积的函数f(t)∈L^2 (R)看成是某一逐级逼近的极限情况，每级逼近都是用某一低通平滑函数ϕ(t)对f(t)做平滑的结果，在逐级逼近时，平滑函数ϕ(t)也做逐级伸缩，这就是所谓的“多分辨率”。将空间逐级二分解：

     这种剖分方式使得空间与空间正交，即：，任意信号f(t)∈L^2 (R)可用多分辨率分析公式表示为：

式中右边第一项是f(t)在尺度空间的投影，是f(t)的平滑近似，第二项是f(t)在小波空间的投影，是对f(t)的细节补充。j是任意尺度开始，通常称为近似值或尺度系数，称为细节或小波系数。展开系数计算如下：

     如果展开函数是双正交基的一部分，上式中的φ和项要分别用他们的对偶函数代替。
    子小波分析中小波函数用于构建坐标系，但是用小波函数来表示一个信号时，它其实是将信号映射在了时频平面内，所以在实现过程中需要一个频域的底座和平台，来让信号f(t)与之做映射，而且是在一定的频率分辨率上进行的，这个起到底座的函数就是尺度函数，在尺度函数的平台下对频率的分析，或者说对信号的表达就是小波函数的作用了。在滤波实现中，低频滤波就是尺度函数的作用，小波函数的实现相当于高频滤波器。

便于理解，举一个具体的例子：

使用哈尔小波将y=x^2 的小波序列展开，其中哈尔尺度函数为：

哈尔小波函数：

因此展开系数为：

则得到如下的小波序列展开：

二、小波变换实例

      程序目录如下：

     主程序贴出如下：

g = imread('3.jpg');
f = rgb2gray(g);
imshow(f);
title('原图');
[c,s] = wavefast(f,1,'sym4');
figure;wave2gray(c,s,-6);
title('原图分解为一个近似图和3个细节图');
[nc,y] = wavecut('a',c,s);
figure;wave2gray(nc,s,-6);
title('去掉近似图');
edges = abs(waveback(nc,s,'sym4'));
figure;imshow(mat2gray(edges));
title('3个细节图重构出的原图像细节');

     其间所用的函数文件若你所安装的matlab中没有，可到文中开头所提及的网址中查找，自行下载或粘贴上。程序正确运行的结果如下：

      如上图所示，经过小波变换，将原灰度图像f分解为1个近似图和水平、垂直、对角线方向的细节轮廓图（均为分解系数构成），若要将这些信息合并成一幅边缘图像，可简单地把生成变换的近似系数设为零，计算它的反变换，即在去掉近似图的情况下用3个细节图进行重构，类似的过程也可用于隔离垂直边缘或水平边缘。

小波变换的大致原理是这样，涉及到三维的情况可以与一维类比理解。