浅谈以数据结构的视角去解决算法问题的步骤

浅谈以数据结构的视角去解决算法问题的步骤

在程序设计中，很多复杂的算法设计问题，从数据结构的角度来看其实都可以按照这种思路来解决：

1.对于要处理的一组数据，根据实际需求整理出要处理的数据元素。

2.理清这些数据元素之间存在的逻辑关系。

3.结合以上两点，根据数据结构所学知识和实际要解决的问题，选择一种合适的数据结构。

4.数据结构包括数据的逻辑结构和数据的存储结构，同一种逻辑结构有不同的存储结构。因此要根据算法的实际需求，不仅要选择一种合适的数据逻辑结构来描述问题，更需要为其选择一种合适的存储结构。比如更新和查找操作较多，则选顺序存储结构比较合适，但如果数据的插入，删除等操作较多，则选择链式存储方法更合适。

这种方法看起来有些笨，其实很有效。遇到复杂的问题，我们可以在大脑中快速过一遍数据结构的列表，然后逐一尝试各种数据结构。这真的是一种有效的方法，因为一旦找到合适的数据结构（比如说树）。很多问题也就迎刃而解了。

下面看一个示例：

问：随机生成一些数字，并保存到一个（可拓展的）数组中，假定数据元素个数为奇数个，请问如何跟踪数组的中位数？

分析问题：

1. 要处理的数据元素即一组随机数；

2. 数据元素之间为线性关系；

3. 所谓中位数即是排过序后的处于数组最中间的元素（元素为奇数个的情况下）。

4. 注：元素个数为偶数个时，中位数即中间两个数的平均值。

结题思路：

1. 将无序数组中的所有元素进行排序得到一个有序序列；

2. 找出有序序列中的最中间的那一个数即为中位数。

难点：

1. 选择哪一种数组结构来存储这些无序的数据元素，才能用高效的完成排序。

2. 选择哪一种排序算法最快最好？

我们可以将学过的常用数据结构在大脑中过一遍：

* 数组：可行，但是你已经有一个数组了。还要一直保持数组中的数字有序，开销会比较大了。我们暂时先不选它，但可以作为备选项。

* 链表：不太行。因为链表在随机访问和排序上性能不好。

* 二叉树：有可能行，因为二叉树在排序方面有很好的表现。如果二叉树是平衡的话，那么根节点就是中位数。但是注意，如果数组中有偶数个元素时，中位数应该是中间两个数的平均值。而根节点不可能是两个数的。结论：可能可行，待定。

* 堆：堆确在排序、查找最大值/最小值有很好的性能。如果你创建两个堆,一个是最大堆，一个最小堆。一个堆的堆顶记录数组较小一半的最大值，另外一个堆顶记录较大值的最小值。这样的结构下，两个堆如果“平衡”的话，那堆顶的数字就可能是需要的中位数了。如果两个堆”不平衡(堆的大小不一样)，可以从元素多的堆中弹出堆顶的元素到另外一个堆，保持平衡。

学过的排序算法：直接插入排序、希尔排序，交换排序（气泡排序，快速排序），选择排序，堆排序，归并排序。

可能的解法：

思路1

1.1数据结构采用数组，采用普通的比较排序法把无序数组排好序，时间复杂度 O(N*logN) ；

1.2取出中间的元素即为中位数。

1.3如果采用非比较的计数排序等方法，时间复杂度O(N), 空间复杂度也是O(N).

思路2 

2.1数据结构选择堆，排序算法为堆排序法

2.2将前(n+1)/2个元素调整为一个小顶堆；

2.3对后续的每一个元素，和堆顶比较，如果小于等于堆顶，丢弃之，取下一个元素。如果大于堆顶，用该元素取代堆顶，调整堆，取下一元素。重复2.2步

2.4当遍历完所有元素之后，堆顶即是中位数。 

思路3

熟话说，想让算法跑的更快，用分治！  快速排序之所以得名"快排",绝非浪得虚名！因为快排就是一种分治排序法！ 同样，找中位数也可以用快排分治的思想。

具体如下：  任意挑一个元素，以改元素为支点，划分集合为两部分，如果左侧集合长度恰为 (n-1)/2，那么支点恰为中位数。如果左侧长度<(n-1)/2, 那么中位点在右侧，反之，中位数在左侧。进入相应的一侧继续寻找中位点。  这种方法很快，但是在最坏的情况下时间复杂度为O(N^2), 不过平均时间复杂度好像是O(N)。