图的拉普拉斯矩阵(Graph Laplacians)

Definition

如前述文章“图的基本知识”中所述，对于一个具有个顶点的图 ，用对角阵描述图各顶点的度，矩阵为其邻接矩阵，则定义Laplacian matrix为：

 

对于一个无向加权图( )，是对称阵且每个元素表示为：

其中 为顶点的度，且 。

【以下均针对无向加权图进行描述】

Properties

1.  是对称的半正定矩阵；

2.  具有个非负的实数特征值：，且，其对应的特征向量；

3.  特征值为0的个数等于图连通分支的数目；

4.  对于任一为的向量，有：

       

具体证明过程可参见文献[2].

Normalized laplacian matrix

有两种Normalized 拉普拉斯矩阵：

(1) Symmetric normalized Laplacian

      

(2) Random walk normalized Laplacian

       

Applications

Spectral graph theory图谱论，就是借助于图的拉普拉斯矩阵的特征值和特征向量来研究图的性质，当前视觉领域的Spectral Clustering， Spectral Hashing，Graph Cut， Normalized Cut, Min-Cut等等技术都是通过Spectral graph theory来实现的。

 

参考文献

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Laplacian_matrix

[2] http://www.kyb.mpg.de/fileadmin/user_upload/files/publications/attachments/Luxburg07_tutorial_4488%5b0%5d.pdf