数据结构与算法笔记 —— 绪论

数据结构与算法笔记 —— 绪论

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一. 计算与算法

1. 计算机的本质是计算，计算是寻找对象的规律，并从中找到技巧。计算的目标是高效，低耗。
2. 算法就是借助一定的工具，在一定的规则下，以明确而机械的形式来进行的计算。
3. 算法的主要特性：
   
   • 输入，输出
   • 正确性：算法能够正确地解决问题
   • 确定性：所有步骤均由基本的操作组成
   • 可行性：基本操作均能够实现
   • 有穷性：所有操作在时间的允许范围内
4. 好的算法：效率最高（速度尽可能快，存储空间尽可能少）同时又兼顾正确（算法能够正确地解决问题）、健壮（容错性好）、可读（易于阅读）。

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二. 计算模型

1. 一个好的程序不仅要考虑数据结构与算法，还要考虑效率，即：（数据结构+算法）*效率 = 程序 => 应用。
2. 算法分析的两个重要指标
   
   • 正确性：算法功能是否与问题一致
   • 成本：时间消耗与存储空间消耗
3. 定义：T(n) 为一个算法在最坏的情况下所需要操作的步骤。不同算法之间的好坏主要看T(n)的大小，T(n)是屏蔽了计算机硬件差异，语言差异，编译差异等差异之后的理想平台下的运行指标，如大O，大 Ω ，大 Θ 等。
4. 一般的计算模型有图灵模型与RAM模型，它们均将算法的运算时间转换成算法执行的基本操作次数。

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三. 图灵机模型

1. 图灵机的三个组成要件
   
   • 有限长的字母表： cell中存储的内容
   • 读写头：指示当前位置，可读可写。
   • 状态表：当前读写头的状态
2. 图灵机状态转换过程 transform(q,c;f,L/R,p)
   
   • q：当前状态
   • c：读写头所指cell当前的内容
   • f：读写头所指cell改写的内容
   • L/R：向左/右移位
   • p：读写头转换后的状态

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四. RAM 模型

1. 与图灵机类似，均假设有无限空间
2. 由一系列顺序编号寄存器组成，但总数无限
3. 算法所运行的时间转换成算法运算时的次数

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五. 数据结构

1. 数据结构示意图

   • 数据对象由数据元素组成，数据元素由数据项组成，数据项是最基本的单位
   • 数据结构是一系列数据元素之间的关系

2. 数据结构的逻辑结构

   • 集合结构
   • 线性结构
   • 树结构
   • 图结构
3. 数据结构的物理结构
   
   • 顺序存储结构
   • 链式存储结构

六. 大O记号等

1. 算法的效率主要看时间消耗与存储空间消耗，这里我们屏蔽存储空间的消耗，仅仅考虑时间的消耗。
2. 大O的定义： T(n)=O(f(n)) , f(n) 为一个函数。当 c>0 , T(n)<c∗f(n) ，即大O记号表示 T(n) 的一个上界，其性质为：
   
   • O(n)=O(c∗n)
   • O(n2+n)=O(n2)
3. 大 Ω 的定义： T(n)=Ω(f(n)) , f(n) 为一个函数。当 c>0 , T(n)>c∗f(n) ，即大O记号表示 T(n) 的一个下界。
4. 大 Θ 的定义： T(n)=Θ(f(n)) , f(n) 为一个函数。当 c1>c2>0 ， c1∗f(n)>T(n)>c2∗f(n) ，即大O记号表示 T(n) 的一个区间。
5. 大O记号的分类：
   
   • 常数类： O(1)=2 or 222222 ，有效
   • 对数类： O(logcn) 与常底数、常数次幂无关，复杂度接近常数，有效。
   • 多项式： O(nc)
   • 线性： O(n)
   • 指数： cn=O(2n) 任何c均可。成本增长极快，不是有效的。

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七. 算法分析

1. 算法分析主要有两个任务：
   
   • 正确性
   • 复杂度
2. 复杂度的分析方法有三种：
   
   • 迭代式算法：级数求和
   • 递归式算法：递归跟踪 + 递归方程
   • 猜测 + 验证
3. 算数级数：与末项的平方同阶
   T(n)=1+2+......+n=n(n+1)2=O(n2)
4. 幂方级数：比幂次高出一阶
   T(n)=14+24+......+n4=n(n+1)(2n+1)(3n2+3n+1)30=O(n5)
5. 几何级数 (a>1) ：与末项同阶
   T(n)=a0+a1+......+an=an+1−1a−1=O(an)
6. 收敛级数： O(1)
7. 可能未必收敛，但长度有限
   T(n)=1+12+......+1n=O(logn)
   T(n)=log2+log3+......+logn=log(n!)=O(nlogn)
8. 循环：一般随着层数的增加指数式增长
9. 递归跟踪分析：检查每个递归实例，累计所需时间（调入语句本身，计入对应的子实例），总和即为算法执行时间。

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八. 迭代与递归

1. 算法的两种思想方法：分而治之，减而治之。
2. 分而治之：将一个问题分两个规模大小差不多的子问题。
3. 减而治之：将一个问题分为一个子问题和一个规模缩减的问题。

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九. 动态规划

1. 动态规划的目的：
   
   • make it work（递归可以保证）
   • make it right（递归可以保证）
   • make it fast（迭代可以保证）
2. 递归对于资源的消耗大而且 O(n) 比较大，然而迭代可以降低对存储空间的使用，有时亦可以降低 O(n)
3. 子序列：由原序列中若干个元素，按原来相对次序排列而成的新的序列。
4. 最长公共子序列(longest common subsequence, LCS)是两个序列中，在其相同的子序列中长度最长的那个子序列，可能含有多个。

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参考文献

[1] 邓俊辉《数据结构》