https加密

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1 随机不相等的质数p和q

• p = 61 q = 53

n = 61 × 53 = 3233

• 密文长度为 3233 的二进制长度 110010100001（12位），实际应用中，RSA密钥一般是1024位，重要场合则为2048位。
  此时：

p = 61
q = 53
n = 12

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2 计算n的欧拉函数φ(n)。

φ(n) = (p-1)(q-1)

此时：

p = 61
q = 53
n = 12
φ(3233) = 3120

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3 随机选择一个与φ(n) 互质的整数e，条件是1< e < φ(n)

此时：

p = 61
q = 53
n = 12
φ(n) = 3120
e = 17

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4 计算e对于φ(n)的模反元素d

ed ≡ 1 (mod φ(n))

即：

ed - 1 = kφ(n)

e φ(n)代入

17d - 1 = 3120k

取一组 d k 数据

(d,k)=(2753,-15)

此时：

p = 61
q = 53
n = 12
φ(n) = 3120
e = 17
d = 2753

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5 将n和e封装成公钥，n和d封装成私钥

n=3233，e=17，d=2753

(n,e) = (3233, 17)(公钥) (n,d) = (3233, 2753)(私钥)

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已知公钥，能不能推导出私钥

已知 (n,e) = (3233, 17) 求 d ?

根据关系

ed - 1 = kφ(n) => 17d - 1 = kφ(3233) ==> 17d - 1 = φ(3233)

所以知道 φ(3233) 即可求出d
又因为：

φ(n) = (p-1)(q-1)

因此 ： 求 φ(n) 关键是 n 的质数分解

因此破解私钥的关键是质数分解

假设有一个100位的整数(10)^100，极限循环次数是(10)^50，假设在一半的时候(10)^25能找到第1个因式，那么至少需要做(10)^25次除法。
假设现在的计算机每秒钟可以进行1亿亿次(10)^16大整数除法运算 -- 应该已经超过一般的巨型机的速度了吧。那么需要(10)^9秒才能得出结果--差不多是31年

对极大整数做因数分解的难度决定了RSA算法的可靠性。换言之，对一极大整数做因数分解愈困难，RSA算法愈可靠。尽管如此，只有一些RSA算法的变种[来源请求]被证明为其安全性依赖于因数分解。假如有人找到一种快速因数分解的算法的话，那么用RSA加密的信息的可靠性就肯定会极度下降。但找到这样的算法的可能性是非常小的。今天只有短的RSA钥匙才可能被强力方式解破。到2008年为止，世界上还没有任何可靠的攻击RSA算法的方式。只要其钥匙的长度足够长，用RSA加密的信息实际上是不能被解破的。但在分布式计算和量子计算机理论日趋成熟的今天，RSA加密安全性受到了挑战。

(The greatly integer factorization difficulty determines the reliability of the RSA algorithm. In other words, the maximum integer factorization is the more difficult RSA algorithm is more reliable. Nevertheless, only some variant of the RSA algorithm [citation needed] proved its security depends on the factorization. If someone finds a fast factorization algorithms, so the reliability of the information used RSA encryption will certainly extreme decline. But found the possibility of such an algorithm is very small. Today only short RSA keys to be a powerful way cracked. Until 2008, the world' s no reliable way to attack the RSA algorithm. As long as the length of the key is long enough, with the RSA encryption information is actually not be cracked. But in today' s distributed computing and quantum computer theory matures, RSA encryption security has been challenged.)