2015ACM/ICPC 北京站 K题 数论 + 搜索

题目链接


题意:
给定一个数列 F F F,满足:
F [ 1 ] = 1 F[1] = 1 F[1]=1
3 F [ n ] ∗ F [ 2 n + 1 ] = F [ 2 n ] ∗ ( 1 + 3 F [ n ] ) 3F[n]*F[2n+1] = F[2n]*(1 + 3F[n]) 3F[n]F[2n+1]=F[2n](1+3F[n])
F [ 2 n ] < 6 F [ n ] F[2n] < 6F[n] F[2n]<6F[n]
然后给你一个 n , k n,k n,k,定义 g [ i ] g[i] g[i] F [ 1 ] − F [ n ] F[1]-F[n] F[1]F[n] k k k取余后等于 i i i的个数。
然后问 g [ 0 ] − g [ k − 1 ] g[0]-g[k-1] g[0]g[k1]的异或和。


思路:
对于 F F F,考虑第二个条件,化简可得:
F [ 2 n + 1 ] F [ 2 n ] = 1 + 3 F [ n ] 3 F [ n ] \frac{F[2n+1]}{F[2n]} = \frac{1+3F[n]}{3F[n]} F[2n]F[2n+1]=3F[n]1+3F[n]

设: F [ 2 n ] = k ∗ 3 F [ n ] F[2n] = k*3F[n] F[2n]=k3F[n]
F [ 2 n + 1 ] = k ∗ ( 1 + 3 F [ n ] ) F[2n+1] = k*(1+3F[n]) F[2n+1]=k(1+3F[n])

因为 F [ 2 n ] < 6 F [ n ] F[2n] < 6F[n] F[2n]<6F[n]
k > = 1 k >= 1 k>=1
所以 k = 1 k = 1 k=1
即:
F [ 2 n ] = 3 F [ n ] F[2n] = 3F[n] F[2n]=3F[n]
F [ 2 n + 1 ] = 1 + 3 F [ n ] F[2n+1] = 1 + 3F[n] F[2n+1]=1+3F[n]


故我们可以推出
n n n为奇数, F [ n ] = 3 ∗ F [ n / 2 ] F[n] = 3*F[n/2] F[n]=3F[n/2]
n n n为偶数, F [ n ] = 3 ∗ F [ n / 2 ] + 1 F[n] = 3*F[n/2] + 1 F[n]=3F[n/2]+1

故可以考虑DFS,每次可以将问题规模减小一半。

以上。


代码:

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;

const int A = 1e5 + 10;
ll g[A],tg[A],k;
ll n;

ll calc(ll n){
    if(n == 1) return 1;
    if(n&1) return (3*calc(n/2)+1)%k;
    return 3*calc(n/2)%k;
}

void dfs(ll n){
    if(n == 1){
        g[1]++;
        return;
    }

    if(n&1){
        dfs(n-1);
        g[calc(n)]++;
    }
    else{
        dfs(n/2);
        for(int i=0 ;i<k ;i++) tg[i] = 0;
        for(int i=0 ;i<k ;i++){
            tg[(i*3)%k] += g[i];
            tg[(i*3+1)%k] += g[i];
        }
        for(int i=0 ;i<k ;i++) g[i] = tg[i];
        g[1]++;
        g[calc(n+1)]--;
    }
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%lld%lld",&n,&k);
        memset(g,0,sizeof(g));

        dfs(n);

        ll ans = 0;
        for(int i=0 ;i<k ;i++){
            ans ^= g[i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

你可能感兴趣的:(2015ACM/ICPC 北京站 K题 数论 + 搜索)