联考20200604 T2 宝石

题目：

分析：
你竞赛就我不会生成函数了.jpg
首先考虑\(O(nD)\)的\(DP\)，设\(f[i][j]\)，表示确定了前\(i\)个珠子，有\(j\)种颜色为奇数的情况
简单递推
发现关键是求出\(f[n][i]\)，由于\(n\)很大，删去这位，求\(f_i\)
恰好貌似不好求，我们来求至少
设\(g_i\)为至少有\(i\)种颜色为奇数的方案数

我们知道：

\[e^x=\sum_{i=0}\frac{x^i}{i!} \]

\[e^{-x}=\sum_{i=0}(-1)^{i}\frac{x^i}{i!} \]

组合起来：
某颜色有奇数个物品的生成函数\(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\)
某颜色有偶数个物品的生成函数\(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\)

那么\(g\)的生成函数我们可以表达为：

\[g_i=\binom{D}{i}n^i e^{(D-i)x} \]

中间二项式定理展开:

\[g_i=\frac{\binom{D}{i}n!}{2^i}[x^n]\sum_{j=0}^{i}(-1)^j\binom{i}{j}e^{(D-2i+2j)x} \]

直接取第n项化出来得到：

\[g_i=\frac{\binom{D}{i}i!}{2^i}\sum_{j=0}^{i}(-1)^j\frac{(D-2j)^n}{j!(i-j)!} \]

发现是卷积形式大力NTT
然后二项式反演再做一次NTT求得\(f\)
取合法位置的值求和就是答案

留下了没有数理基础的泪水.jpg

#include
#include
#include
#include
#include

#define maxn 600005
#define MOD 998244353
#define G 3
#define iG 332748118

using namespace std;

inline long long getint()
{
	long long num=0,flag=1;char c;
	while((c=getchar())<'0'||c>'9')if(c=='-')flag=-1;
	while(c>='0'&&c<='9')num=num*10+c-48,c=getchar();
	return num*flag;
}

int D,n,m,len=1;
int fac[maxn],inv[maxn];
int A[maxn],B[maxn],rev[maxn];

inline int ksm(int num,int k)
{
	int ret=1;
	for(;k;k>>=1,num=1ll*num*num%MOD)if(k&1)ret=1ll*ret*num%MOD;
	return ret;
}

inline void NTT(int *a,int len,int op)
{
	for(int i=0;i>1]>>1)|(i&1?len>>1:0);
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for(int i=2;i<=D;i++)fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
	for(int i=2;i<=D;i++)inv[i]=1ll*inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=2;i<=D;i++)inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%MOD;
	for(int i=0;i<=D;i++)A[i]=(i&1?-1ll:1ll)*ksm(D-2*i,n)%MOD*inv[i]%MOD;
	for(int i=0;i<=D;i++)B[i]=inv[i];
	mul(A,B);
	for(int i=D+1;i